Question

【题目】已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且满足|a+8|+（b﹣12）2＝0，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒，A、B之间的距离定义为：AB＝|a﹣b|．

（1）直接写出OA＝　 　．OB＝　 　；

（2）设运动的时间为t秒，当t为何值时，恰好有AN＝2AM；

（3）若点P为线段AM的中点，Q为线段BN的中点，M、N在运动的过程中，PQ+MN的长度是否发生变化？若不变，请说明理由，若变化，当t为何值时，PQ+MN有最小值？最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）8，12；（2）t＝4或者t＝；（3）当t＝6时，PQ+MN最小值为10．

【解析】

（1）根据绝对值和平方的非负性即可得出a+8＝0，b﹣12＝0，从而求出线段OA、OB的长；

（2）题干给出了数轴上两点距离的表示方式，因此要求出t的值，只需要表示出AN＝2AM，则将方程接出即可；

（3）首先根据中点公式表示出P、Q两点，然后表示出PQ+MN，再根据t的范围去掉绝对值，最后就可以求出PQ+MN的最小值．

解：（1）∵|a+8|+（b﹣12）2＝0，

∴a+8＝0，b﹣12＝0，

∴a＝﹣8，b＝12，

∵点A、B在数轴上对应的数为a、b，

∴OA＝8，OB＝12，

故答案为：8，12；

（2）根据题意得：M点表示的数为：﹣t，N点表示的数为：12﹣3t，

则：AM＝|8﹣t|，AN＝|20﹣3t|，

∵AN＝2AM，

∴|20﹣3t|＝2|8﹣t|，

则（20﹣3t）＝±2（8﹣t），

解得：t＝4或者t＝；

（3）∵点P为线段AM的中点，则P点表示的数为：，

∵Q为线段BN的中点，Q点表示的数为：，

∴PQ＝＝|t﹣16|，

MN＝|2t﹣12|，

∴PQ+MN＝|t﹣16|+|2t﹣12|，

当t≥16时，原式＝t﹣16+2t﹣12＝3t﹣28；此时当t＝16时最小值为20，

当6≤t≤16时，原式＝16﹣t+2t﹣12＝t+4；此时当t＝6时最小值为10，

当t≤6时，原式＝16﹣t+12﹣t＝28﹣3t；此时当t＝6时最小值为10，

综上所述当t＝6时，PQ+MN最小值为10．