Question

【题目】阅读下文，寻找规律： 已知x≠1时，（1﹣x）（1+x）=1﹣x2 ， （1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3 ， （1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4…
（1）填空：（1﹣x）（）=1﹣x5 ．
（2）观察上式，并猜想： ①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）= ．
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）= ．
（3）根据你的猜想，计算： ①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）= ．
②1+3+32+33+34…32016= ．

Answer 1

【答案】
（1）1+x+x2+x3+x4
（2）1﹣xn+1；x11﹣1
（3）1﹣26?? ；
【解析】解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5 ． 故答案为：1+x+x2+x3+x4；
2）①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）=x11﹣1；
故答案为：1﹣xn+1；x11﹣1；
3）①解：设S=1+2+22+23+24+25①，
将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+26②，
②﹣①得，2S﹣S=26﹣1，即S=26﹣1，
即1+2+22+23+24+25=26﹣1．
设S=1+3+32+33+…+32015+32016 ， ①
①×3得3S=3+32+33+3…32016+32017 ， ②
②﹣①得：2s=32017﹣1，S= ．
故答案为：26﹣1， ．
（1）根据规律即可得到结论；（2）根据规律即可得到结论；（3）①先设S=1+2+22+23+24+25 ， 再将等式的两边同时乘以2，将两式相减即可；②首先根据已知设S=1+3+32+33+…+32015+32016 ， ①再将其两边同乘3得到关系式②，②﹣①即可求得答案．