Question

9．如图，在△ABC中．AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从点沿AB向点B运动，点Q从点B沿BC向点C运动，速度都为1cm/s，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，求运动几秒时，点P与点Q的连线PQ与△ABC的边垂直．

Answer 1

分析 分两种情况讨论①如图1，当PQ⊥BC时，有PQ∥AD，得到$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BD}$，即可得到结果；②当PQ⊥AB时，过A作AD⊥BC于D，得到△ABD∽△QBP，推出$\frac{AB}{BQ}=\frac{BD}{BP}$，即可得到结论．

解答 解：设运动时间为t，则AP=t，BQ=t，BP=5-t，
过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3cm，
①如图1，当PQ⊥BC时，
∴PQ∥AD，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BD}$，
即$\frac{5-t}{5}=\frac{t}{3}$，
解得：t=$\frac{15}{8}$，
②当PQ⊥AB时，过A作AD⊥BC于D，
∴△ABD∽△QBP，
∴$\frac{AB}{BQ}=\frac{BD}{BP}$，
即：$\frac{5}{t}=\frac{3}{5-t}$，
解得：t=$\frac{25}{8}$，
综上所述：当运动$\frac{15}{8}$s，$\frac{25}{8}$s时，点P与点Q的连线PQ与△ABC的边垂直．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的周长辅助线是解题的关键．