Question

【题目】如图，把一张长方形纸片 ABCD 折叠起来，使其对角顶点 A，C 重合，若其长 BC 为 9，宽 AB 为 3．

⑴求证：△AEF 是等腰三角形；

⑵EF= ．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）

【解析】

(1) 由折叠可知，∠EFC=∠AFE,根据AD∥BC，得到∠AEF=∠EFC，可得∠AEF=∠AFE，即可得出结论；

（2）过点F作FH⊥AD,设BF=x，则AF=CF=9x，求出x的值，再根据勾股定理即可得出EF==.

（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，

∴∠AEF=∠EFC．

由折叠可知，∠EFC=∠AFE，

∴∠AEF=∠AFE．

∴AE=AF．

∴△AEF是等腰三角形．

（2）解：如图，过点F作FH⊥AD,

设BF=x，
则AF=CF=9x，
在Rt△ABF中，由BF2+AB2=AF2可得x2+32=(9x)2，
解得：x=4，

∴AF=FC=9-4=5，
∴AE=AF=5,

∵四边形ABFH是矩形，

∴AH=BF=4,AB=HF=3

∴HE=AE-AH=1，
∴EF===.