Question

18．（1）知识再现
如图（1）：若点A，B在直线l同侧，A，B到l的距离分别是3和2，AB=4，现在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法如下；作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l的交点就是所求的点P，线段BA′的长度即为AP+BP的最小值，请你求出这个最小值．
（2）实践应用
①如图（2），⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是2$\sqrt{3}$；
②如图（3），Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，$\sqrt{3}$），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为$\sqrt{7}$；
③如图（4），菱形ABCD中AB=2，∠A=120°，点P，Q，K，分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为2；
④如图（5），在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=$\sqrt{3}$，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是3+$\sqrt{3}$．
（3）拓展延伸
如图（6），在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD，保留作图痕迹，不必写出作法．

Answer 1

分析 （1）连接AB，过B作BK⊥AA′于K，求出BK，根据勾股定理求出A′B即可；
（2）①延长AO交⊙O于E，连接CE交OB于P，连接AP，此时PA+PC值最小，解直角三角形求出CE即可；
②过A作AW⊥OB于W，并延长AW到E，使AW=WE，连接CE交OB于P，连接AP，则此时PA+PC值最小，过E作EF⊥OA于F，求出AW，求出AE，EF，即可求出CE，根据CE能得出答案；
③过Q作QM⊥AB，交AB于M，连接PM，交BD于K，则此时PK+QK的值最小，过C作CN⊥AB于N，求出CN即可；
④求出P和D重合时符合题意，求出BC，即可得出答案；
（3）根据轴对称作B点关于AC的对称点E，延长DE交AC于P，则P为所求．

解答 解：（1）
连接AB，过B作BK⊥AA′于K，
∵AB=4，AC=3，AK=1，
∴在Rt△AKB中，BK²=15，
∵KA′=5，
∴在Rt△A′KB中，BA′=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$；


（2）①如图（2），
延长AO交⊙O于E，连接CE交OB于P，连接AP，此时PA+PC值最小，
连接AC，
∵AE为直径，
∴∠ACB=90°，AE=2×2=4，
∵∠AOC=60°，
∴∠E=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AE=2，
由勾股定理得：CE=2$\sqrt{3}$，
即PA+PC=CE=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$；

②如图（3），
过A作AW⊥OB于W，并延长AW到E，使AW=WE，连接CE交OB于P，连接AP，则此时PA+PC值最小，
过E作EF⊥OA于F，
∵B（3，$\sqrt{3}$），
∴tan∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BOA=30°，
∴∠B=60°，
∴∠BAW=30°，∠CAW=60°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=AW，
∵B（3，$\sqrt{3}$），
∴OA=3，AB=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：OB=2$\sqrt{3}$，
由三角形面积公式得：AB×OA=OB×AW，
∴AW=$\frac{3×\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3}{2}$，
∴AE=2AW=3，AF=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵OC=1，AF=$\frac{3}{2}$，OA=3，
∴CF=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
即PA+PC的最小值是$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$；

③如图（4），
过Q作QM⊥AB，交AB于M，连接PM，交BD于K，则此时PK+QK的值最小，过C作CN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，AB∥CD，
∴CN=QM，
∵在Rt△CNB中，∠CNB=90°，BC=2，∠CNB=90°，
∴CN=$\sqrt{3}$，
∴QM=CN=$\sqrt{3}$，
即PK+QK的最小值是$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$；

④如图（5），
连接CE，交AD于F，
∵沿着AD折叠C和E重合，
∴AD垂直平分CE，即当P和D重合时，EP+BP值最小，即△PEB的周长最小，
∵CD=$\sqrt{3}$，
∴DE=CD=$\sqrt{3}$，
∵∠B=60°，∠DEB=90°，
∴BE=1，BD=2，
∴PB+PE=BC=2+$\sqrt{3}$，
∴△PEB的周长为PE+PB+BE=2+$\sqrt{3}$+1=3+$\sqrt{3}$，
故答案为：3+$\sqrt{3}$；

（3）如图：

点评 本题考查了轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的性质的应用，能找出符合条件的P点事解此题的关键，题目求解过程类似，但是有一定的难度．