Question

6．如图，双曲线y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）上有一动点P，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，直线AB：y=-x+1分别交PM、PN于点E、F．
（1）求证：AF=$\sqrt{2}$PM；
（2）求AF•BE的值．

Answer 1

分析 （1）作FG⊥OM于G，如图，先求出点A和点B的坐标，则可判断△AOB为等腰直角三角形，所以∠OAB=∠OBA=45°，接着判断△AGF为等腰直角三角形得到AF=$\sqrt{2}$FG，再证明四边形PMGF为矩形，得到PM=FG，于是有AF=$\sqrt{2}$PM；
（2）作EH⊥ON于H，如图，与（1）一样可得BE=$\sqrt{2}$PN，所以AF•BE=2PM•PN，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得PN•PM=$\frac{1}{2}$，所以AF•BE=1．

解答 证明：（1）作FG⊥OM于G，如图，
当y=0时，-x+1=0，解得x=1，则A（1，0），
当x=0时，y=-x+1=1，则B（0，1），
∴OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴△AGF为等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$FG，
∵PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴四边形PMGF为矩形，
∴PM=FG，
∴AF=$\sqrt{2}$PM；

（2）作EH⊥ON于H，如图，
与（1）一样可得BE=$\sqrt{2}$PN，
∴AF•BE=$\sqrt{2}$PM•$\sqrt{2}$PN=2PM•PN，
设P（a，b），
∵点P（a，b）在双曲线y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）上，
∴b=$\frac{1}{2a}$，
∴ab=$\frac{1}{2}$，即PN•PM=$\frac{1}{2}$，
∴AF•BE=2PM•PN=2×$\frac{1}{2}$=1．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；注意等腰直角三角形性质的运用．