Question

8．如图，直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC=10，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．则BE+CF=10．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，即可解答．

解答 解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠B}\\{AD=BD}\\{∠ADF=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，
∴BE+CF=AF+CF=AC=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△ADF是解决问题的关键．