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【题目】如图,二次函数x轴交于点B和点A-1,0),与y轴交于点C,与一次函数交于点A和点D.

1.求出的值;

2.若直线AD上方的抛物线存在点E,可使得△EAD面积最大,求点E的坐标;

3.F为线段AD上的一个动点,点F到(2)中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d,求d的最小值及此时点F的坐标.

【答案】1a=1b=3c=4. 2)当m=1时,最大值为6,此时点E的坐标为(1,6)(3d的最小值为5,F点的坐标为(12.

【解析】

(1)根据图形可以看出点C的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),代入二次函数的解析式中,即可得出b、c的值,将点A(-1,0)代入一次函数中,即可求得a的值
(2)设点E的横坐标为m,则可得出点E的纵坐标为-m2+3m+4.过点Ex轴的垂线l,交x轴于点G,交AD于点H,则点H的坐标为(m,m+1).过点Dl的垂线,垂足为T;联立直线方程和二次函数方程,即可得出D的坐标,再根据SAED=SAEH+SHED,得出含m的函数,利用a的取值范围,可知,当m=1时,即可得出最大值,从而可得出E的坐标;
(3)过Ay轴的平行线AS,过FFG⊥y轴交AS于点M,过FFN⊥x轴于N,结合已知,可得出FM=FN,即有d=FE+FM-1=FE+FN-1,可知当N、F、E所在直线与x轴垂直时,d=FE+FN-1最小,即可得出F的坐标.

(1)∵点C(0,4),B(4,0)在函数的图象上,

解得:b=3,c=4,

∵点A(-1,0)在一次一次函数y=x+a上,

0=-1+a,

a=1.

所以a=1,b=3,c=4.

2)设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为.过点Ex轴的垂线l,交x轴于点G,交AD于点H,则点H的坐标为.过点Dl的垂线,垂足为T.

联立组成方程组,解得点D的坐标为(3,4).

所以

a=<0,

有最大值.当m=1时,最大值为6,此时点E的坐标为(1,6)

3)过Ay轴的平行线AS,过FFGy轴交AS于点M,过FFNx轴于N,如图所示:

∵点D的坐标为(3,4),点A坐标为(-1,0)

∴∠DAB=45°

AD平分∠SAB,

FM="FN"

d =FE+FM-1=FE+FN-1

显然,当N、F、E所在直线与x轴垂直时,d=FE+FN-1最小,最小值为6-1=5.

此时点F的横坐标为1,代入F点的坐标为(1,2).

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