【题目】如图,二次函数与x轴交于点B和点A(-1,0),与y轴交于点C,与一次函数交于点A和点D.
1.求出的值;
2.若直线AD上方的抛物线存在点E,可使得△EAD面积最大,求点E的坐标;
3.点F为线段AD上的一个动点,点F到(2)中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d,求d的最小值及此时点F的坐标.
【答案】(1)a=1;b=3;c=4. (2)当m=1时,最大值为6,此时点E的坐标为(1,6)(3)d的最小值为5,F点的坐标为(1,2).
【解析】
(1)根据图形可以看出点C的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),代入二次函数的解析式中,即可得出b、c的值,将点A(-1,0)代入一次函数中,即可求得a的值;
(2)设点E的横坐标为m,则可得出点E的纵坐标为-m2+3m+4.过点E作x轴的垂线l,交x轴于点G,交AD于点H,则点H的坐标为(m,m+1).过点D作l的垂线,垂足为T;联立直线方程和二次函数方程,即可得出D的坐标,再根据S△AED=S△AEH+S△HED,得出含m的函数,利用a的取值范围,可知,当m=1时,即可得出最大值,从而可得出E的坐标;
(3)过A作y轴的平行线AS,过F作FG⊥y轴交AS于点M,过F作FN⊥x轴于N,结合已知,可得出FM=FN,即有d=FE+FM-1=FE+FN-1,可知当N、F、E所在直线与x轴垂直时,d=FE+FN-1最小,即可得出F的坐标.
(1)∵点C(0,4),B(4,0)在函数的图象上,
∴
解得:b=3,c=4,
∵点A(-1,0)在一次一次函数y=x+a上,
∴0=-1+a,
∴a=1.
所以a=1,b=3,c=4.
(2)设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为.过点E作x轴的垂线l,交x轴于点G,交AD于点H,则点H的坐标为.过点D作l的垂线,垂足为T.
将与联立组成方程组,解得点D的坐标为(3,4).
所以
∵a=<0,
∴有最大值.当m=1时,最大值为6,此时点E的坐标为(1,6)
(3)过A作y轴的平行线AS,过F作FG⊥y轴交AS于点M,过F作FN⊥x轴于N,如图所示:
∵点D的坐标为(3,4),点A坐标为(-1,0)
∴∠DAB=45°
∴AD平分∠SAB,
∴FM="FN"
∴d =FE+FM-1=FE+FN-1
显然,当N、F、E所在直线与x轴垂直时,d=FE+FN-1最小,最小值为6-1=5.
此时点F的横坐标为1,代入得F点的坐标为(1,2).
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【题目】如图1,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD,E是边BC上的一动点,连结DE交AC于点F,连结BF.
(1)求证:FB=FD;
(2)如图2,连结CD,点H在线段BE上(不含端点),且BH=CE,连结AH交BF于点N.
①判断AH与BF的位置关系,并证明你的结论;
②连接CN.若AB=2,请直接写出线段CN长度的最小值.
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【题目】如图,已知ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为( )
A. 130° B. 150° C. 160° D. 170°
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【题目】如图,已知抛物线经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;
(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.
①求S与m的函数关系式;
②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标; 若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.
(1)求证:BD=BF;
(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.
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【题目】如图,已知矩形ABCD,E,F分别是边AB,CD的中点,M,N分别是边AD,AB上两点,将△AMN沿MN对折,使点A落在点E上.若AB=a,BC=b,且N是FB的中点,则的值为____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的A1处,则点C的对应点C1的坐标为( )
A. (﹣) B. (﹣) C. (﹣) D. (﹣)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,横、纵坐标都为整数的点称为整点.已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上,请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律.回答下列问题:
(1)经过x轴上点(5,0)的正方形的四条边上的整点个数是________;
(2)经过x轴上点(n,0)(n为正整数)的正方形的四条边上的整点个数为_____________.
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