Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴上，点A坐标为（0，12），点B坐标为（6，0），抛物线y=x²沿O→B→A方向进行平移，平移后的抛物线顶点为P．
（1）求线段AB所在直线的函数表达式；
（2）如图1，当点P与点B重合时，抛物线与AB的另一交点为M，求线段BM（即PM）的长；
（3）如图2，当点P在AB上时，抛物线与OA的另一交点为N，求以PN为直径的⊙I与y轴相切时抛物线的顶点坐标．

Answer 1

解：（1）设直线AB是y=kx+b，
∵点A、B的坐标是（0，12）、（6，0），
，
解得：b=12，k=-2，
∴直线AB的解析式是y=-2x+12；

（2）当点P与点B重合时，抛物线的顶点是（6，0），
∴抛物线的解析式是y=（x-6）²，即y=x²-12x+36，
∵点M是抛物线与直线AB的交点，
由x²-12x+36=-2x+12，
解得x₁=4，x₂=6（与点P重合），
当x₁=4时，y=4，
∴M的坐标是（4，4），
作ME⊥OB于E，得ME=4，BE=6-4=2，
在Rt△MEB中，根据勾股定理得：BM==2；

（3）当抛物线沿BA方向平移时，
∵抛物线的顶点P在直线AB上，
N是抛物线与直线AB的交点，
根据平移的性质得PN=BM=2，
已知PN是⊙I的直径，I是PN的中点，
当⊙I与y轴相切时，IC=PI=，
过点I、P分别作y轴的垂线，垂足分别是C、D，
∴===sin∠OAB==，
∴AI=IC=5，PI=AI+IP=5+，
∴PD===+1，
∵点P在直线y=-2x+12上，当x=+1时，
∴y=-2（+1）+12=10-2，
∴当⊙I与y轴相切时，P点坐标为（+1，10-2）．
分析：（1）首先设直线AB是y=kx+b，利用待定系数法即可求得线段AB所在直线的函数表达式；
（2）当点P与点B重合时，由抛物线的顶点是（6，0），可得抛物线的解析式是y=（x-6）²，由点M是抛物线与直线AB的交点，得方程x²-12x+36=-2x+12，然后解方程即可求得点M的坐标，作ME⊥OB于E，在Rt△MEB中，根据勾股定理即可求得线段BM（即PM）的长；
（3）当抛物线沿BA方向平移时，由抛物线的顶点P在直线AB上，N是抛物线与直线AB的交点，根据平移的性质得PN=BM=2，又由PN是⊙I的直径，I是PN的中点，可得当⊙I与y轴相切时，IC=PI，过点I、P分别作y轴的垂线，垂足分别是C、D，利用三角函数的知识即可求得以PN为直径的⊙I与y轴相切时抛物线的顶点坐标．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，平移的性质以及勾股定理、三角函数的性质的应用等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．