Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD.

(1)求证：OC＝AD；

(2)求OC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）OC＝2.

【解析】

（1）已知△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的，可得△DCB也是边长为2的等边三角形，再证明△OBC≌△ABD，根据全等三角形的性质即可证得结论；（2）根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，OD＝4，CD＝2，由勾股定理即可求得CO的长．

(1)证明：∵△AOB是边长为2的等边三角形，

∴OA＝OB＝AB＝2，∠AOB＝∠BAO＝∠OBA＝60°，

又∵△DCB是由△AOB旋转得到的，

∴△DCB也是边长为2的等边三角形，

∴∠OBA＝∠CBD＝60°，BC＝BD,

又∠OBC＝∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC＝∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD(SAS),

∴OC＝AD.

(2)∵△AOB与△BCD是边长为2的等边三角形，

∴BO＝BC，∠OBA＝∠DBC＝∠BCD＝60°，

∴∠OBC＝120°，

∴∠BOC＝∠BCO＝30°，

∴∠OCD＝90°.

∵OD＝4，CD＝2，

∴在Rt△OCD中，由勾股定理，得OC＝＝＝2.