Question

19．如图，过△ABC内一点分别作三边的平行线，形成三个小三角形①、②、③．已知△ABC的面积的为36，小三角形①、②面积分别为1、4，则小三角形③的面积为9．

Answer 1

分析 由过△ABC内一点分别作三边的平行线，形成三个小三角形①、②、③，得到△GPF∽△PDE∽△HIP，△GPF∽△GDC，△GPF∽△AIF，△HIP∽△HBE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得它们边长比为1：2：3，继而求得答案．

解答 解：过△ABC内一点分别作三边的平行线，形成三个小三角形①、②、③，
设小三角形③的面积为x²，
∴△GPF∽△PDE∽△HIP，△GPF∽△GDC，△GPF∽△AIF，△HIP∽△HBE，
∴它们边长比为1：2：x，
∴S_△GPF：S_△GDC=1：9，S_△GPF：S_△AIF=1：16，S_△HIP：S_△HBE=x²：25，
∴S_{四边形FPEC}=9-1-4，S_{四边形AHPG}=16-1-x²，S_△HBE=25，
∴S_△ABC=S_{四边形FPEC}+S_{四边形AHPG}+S_△HBE+S_△GPF=9-1-4+16-1-x²+25+1=36．
∴x²=9，
∴小三角形③的面积为9，
故答案为：9．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．