Question

9．已知$\frac{{x}^{2}+2}{（x-1）^{3}}$≡$\frac{A}{x-1}$+$\frac{B}{（x-1）^{2}}$+$\frac{C}{（x-1）^{3}}$，求A，B，C的值．

Answer 1

分析 首先根据通分的方法，把右边异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据左右两边分式的分子相同，列出关于A，B，C的三元一次方程组，再解方程组，求出A，B，C的值是多少即可．

解答 解：因为$\frac{A}{x-1}$+$\frac{B}{（x-1）^{2}}$+$\frac{C}{（x-1）^{3}}$
=$\frac{{A（x-1）}^{2}}{{（x-1）}^{3}}+\frac{B（x-1）}{{（x-1）}^{3}}$+$\frac{C}{（x-1）^{3}}$
=$\frac{{A（x-1）}^{2}+B（x-1）+C}{{（x-1）}^{3}}$
=$\frac{{Ax}^{2}+（B-2A）x+A-B+C}{{（x-1）}^{3}}$
≡$\frac{{x}^{2}+2}{（x-1）^{3}}$
所以$\left\{\begin{array}{l}{A=1}\\{B-2A=0}\\{A-B+C=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{A=1}\\{B=2}\\{C=3}\end{array}\right.$，
所以常数A的值是1，B的值是2，C的值是3．

点评 （1）此题主要考查了异分母分式加减法的运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法．
（2）此题还考查了三元一次方程组的求解方法，要熟练掌握．