Question

8．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．

Answer 1

分析 分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，由AC为∠BAD的角平分线，得到CG=CH，根据等底等高的三角形的面积相等得到△ABC面积=△ACD面积，又由于AE=DF，得到△AEC面积=△CDF面积，于是△BCE面积=△ABC面积-△AEC面积，△BCE面积=△ACD面积-△CDF面积，求出△BCE面积=△ACF面积，由四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，得到四边形AECF面积=△ABC面积，又由于四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，四边形ABCD面积=2△ABC面积，即可得到结果．

解答 解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面积=△ACD面积，
又∵AE=DF，
∴△AEC面积=△CDF面积，
∴△BCE面积=△ABC面积-△AEC面积，
△BCE面积=△ACD面积-△CDF面积，
∴△BCE面积=△ACF面积，
∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，
四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，
∴四边形AECF面积=△ABC面积，
又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，
又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，
∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．

点评 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．