[题目]直线AB∥CD.点P在其所在平面上.且不在直线AB.CD.AC上.设∠PAB=α.∠PCD=β.∠APC=γ(α.β.γ.均不大于180°.且不小于0°)．(1)如图1.当点P在两条平行直线AB.CD之间.直线AC的右边时试确定α.β.γ的数量关系,(2)如图2.当点P在直线AB的上面.直线AC的右边时试确定α.β.γ的数量关系,(3)α.β.γ的数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】直线AB∥CD，点P在其所在平面上，且不在直线AB，CD，AC上，设∠PAB=α，∠PCD=β，∠APC=γ(α，β，γ，均不大于180°，且不小于0°)．

（1）如图1，当点P在两条平行直线AB，CD之间、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；

（2）如图2，当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；

（3）α，β，γ的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请直接写出这些．

【答案】（1）γ=α+β；（2）γ=β-α；（3）γ=α-β，γ=β-α，γ=360°-β-α．

【解析】

（1）如图1中，结论：γ=α+β．作PE∥AB，利用平行线的性质解决问题即可；

（2）如图2中，结论：γ=β-α．作PE∥AB，利用平行线的性质解决问题即可；

（3）分四种情形分别画出图形，利用平行线的性质解决问题即可．

（1）如图1中，结论：γ=α+β．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠PCD，

∴γ=α+β；

（2）如图2中，结论：γ=β-α．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，

∴∠APC=∠CPE-∠APE，

∴γ=β-α．

（3）如图3中，有γ=α-β．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，

∴∠APC=∠APE-∠CPE，

∴γ=α-β．

如图4中，有γ=β-α．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠NCP=∠CPE，∠PAM=∠APE，

∴∠APC=∠APE-∠CPE，

=(180°-α)-(180°-β)

=β-α，

∴γ=β-α．

如图5中，有γ=360°-β-α．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠BAP+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，

∴∠BAP+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD =360°，

∴γ+β+α==360°，

∴γ=360°-β-α．

如图6中，有γ=α-β．

理由：作PE//AB．

∵AB//CD，

∴PE//CD，

∴∠MAP=∠APE，∠PCN=∠CPE，

∴∠APC=-∠CPE-∠APE，

=(180°-β)-(180°-α)

∴γ=α-β．

综上所述：γ=α-β，γ=β-α，γ=360°-β-α．

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