【题目】阅读材料,解答问题
数学课上,同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法.
小惠说:“如图1,我用相同的两块含 30°角的直角三角板可以画角的平分线.画法如下:
①在 的两边分别取点 M,N,使 OM=ON ;
②把直角三角板按如图所示的位置放置,两斜边交于点 P ;
③作射线 OP .则OP是∠AOB 的平分线.”小旭说:“我只用刻度尺就可以画角平分线.”
请你也参与探讨,解决以下问题:
(1)小惠的作法正确吗?若正确,请给出证明,若不正确,请说明理由.
(2)请你和小旭一样,只用刻度尺画出图 2 中∠QRS 的平分线,并简述画图的过程.
【答案】(1) 小惠的作法正确.理由见解析;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)过O点作OC⊥PM于C,OD⊥PN于D,求出△OMC≌△OND,根据全等三角形的性质得出OC=OD,∠COM=∠DON,根据角平分线性质求出∠CPO=∠DPO.根据三角形内角和定理求出即可;
(2)根据全等三角形的判定定理SSS,用刻度尺作出即可.
试题解析:解:(1)小惠的做法正确.
理由如下:
如图1,过O点作OC⊥PM于C,OD⊥PN于D,∴∠C=∠D=90°,由题意,∠PMA=∠PNB=60°,∴∠OMC=∠PMA=60°,∠OND=∠PNB=60°,∴∠OMC=∠OND.
在△OMC和△OND中,∵∠CMO=∠DNO,∠C=∠D,OM=ON,∴△OMC≌△OND(AAS),∴OC=OD,∠COM=∠DON,∵OC⊥PM于C,OD⊥PN于D,∴点O在∠CPD的平分线上,∴∠CPO=∠DPO,∴∠COP=∠DOP,∴∠MOP=∠NOP,即 射线OP是∠AOB的平分线;
(2)如图2,射线RX是∠QRS的平分线,作图过程是:用刻度尺作RV=RW,RT=RU,连接TW,UV交于点X,射线RX即为所求∠QRS的平分线.
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【题目】若单项式﹣xa+1y2与5ybx2是同类项,那么a、b的值分别是( )
A.a=1,b=1B.a=1,b=2C.a=1,b=3D.a=2,b=2
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【题目】学校想知道九年级学生对我国倡导的“一带一路”的了解程度,随机抽取部分九年级学生进行问卷调查,问卷设有4个选项(每位被调查的学生必选且只选一项):A.非常了解.B.了解.C.知道一点.D.完全不知道.将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图,请根据两幅统计图中的信息,解答下列问题:
(1)求本次共调查了多少学生?
(2)补全条形统计图;
(3)该校九年级共有600名学生,请你估计“了解”的学生约有多少名?
(4)在“非常了解”的3人中,有2名女生,1名男生,老师想从这3人中任选两人做宣传员,请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率.
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【题目】如图,已知点D、F、E、G都在△ABC的边上,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,求∠AGD的度数.(请在下面的空格处填写理由或数学式)
解:∵EF∥AD,(已知)
∴∠2= ( )
∵∠1=∠2,(已知)
∴∠1= ( )
∴ ∥ ,( )
∴∠AGD+ =180°,(两直线平行,同旁内角互补)
∵ ,(已知)
∴∠AGD= (等式性质)
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【题目】如图1,已知A(,0),B(0, )分别为两坐标轴上的点,且、满足,OC∶OA=1∶3.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若D(1,0),过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点,设E、F两点的横坐标分别为.当BD平分△BEF的面积时,求的值;
(3)如图2,若M(2,4),点P是轴上A点右侧一动点,AH⊥PM于点H,在HM上取点G,使HG=HA,连接CG,当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数是否改变?若不变,请求其值;若改变,请说明理由.
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【题目】已知直线,直线与直线、分别相交于C、D两点.
(1)如图a,有一动点P在线段CD之间运动(不与C、D两点重合),问在点P的运动过程中,是否始终具有∠3+∠1=∠2这一关系,为什么?
(2)如图b,当动点P线段CD之外运动(不与C、D两点重合),问上述结论是否成立?若不成立,试写出新的结论并说明理由.
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【题目】如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的图案,已知该图案的面积为25,小正方形的面积为4,若用x,y表示小长方形的两邻边长(y<x),则下列关系中正确的是 ____________________ (填写序号)
①x+y=5 ②x-y=2 ③4xy+4=25 ④y2+x2=25
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【题目】我们知道,经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,对于这样的抛物线:
(1)当抛物线经过点(﹣2,0)和(﹣1,3)时,求抛物线的表达式;
(2)当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时,求b的值;
(3)如图,现有一组这样的抛物线,它们的顶点A1、A2、…,An在直线y=﹣2x上,横坐标依次为﹣1,﹣2,﹣3,…,﹣n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1、B2,…,Bn,以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn,如果这组抛物线中的某一条经过点Dn,求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边BC,AB上的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DF,连接CE、AF.
(1)证明:AF=CE;
(2)当∠B=30°时,试判断四边形ACEF的形状并说明理由.
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