如图.平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+2与x轴分别交于点A.与y轴交于点C.连结BC．点P是BC上方抛物线上一点.过点P作y轴的平行线.交BC于点N.分别过P.N两点作x轴的平行线.交抛物线的对称轴于点Q.M.设P点的横坐标为m．(1)求抛物线所对应的函数关系式．(2)当点P在抛物线对称轴左侧时.求四边形PQMN周长的最大值．(3)当四边形PQMN为正方形时.求m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．

如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2与x轴分别交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连结BC．点P是BC上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交BC于点N，分别过P、N两点作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点Q、M，设P点的横坐标为m．
（1）求抛物线所对应的函数关系式．
（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN周长的最大值．
（3）当四边形PQMN为正方形时，求m的值．

分析（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用对称轴确定抛物线的对称轴方程，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，接着利用m表示出PN和PQ，从而得到四边形PQMN周长与m的二次函数关系，然后利用二次函数的性质求四边形PQMN周长的最大值；
（3）分类讨论：当0＜m＜1时，利用PQ=PN得到-$\frac{2}{3}$m²+2m=1-m；当1＜m＜3时，利用PQ=PN得到-$\frac{2}{3}$m²+2m=m-1，然后分别解一元二次方程得到满足条件的m的值．

解答解：（1）当x=0时，y=ax²+bx+2=2，则C（0，2），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，2）代入得a•1•（-3）=2，解得a=-$\frac{2}{3}$，
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
（2）∵抛物线与x轴分别交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线BC的解析式为y=px+q，
把C（0，2），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{3p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{2}{3}}\\{q=2}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，
设P（m，-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2），则N（m，-$\frac{2}{3}$m+2），
∴PN=-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2-（-$\frac{2}{3}$m+2）=-$\frac{2}{3}$m²+2m，
而PQ=1-m，
∴四边形PQMN周长=2（-$\frac{2}{3}$m²+2m+1-m）=-$\frac{4}{3}$m²+2m+2=-$\frac{4}{3}$（m-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{11}{4}$（0＜m＜1），
∴当m=$\frac{3}{4}$时，四边形PQMN周长有最大值，最大值为$\frac{11}{4}$；
（3）当0＜m＜1时，PQ=1-m，
若PQ=PN时，四边形PQMN为正方形，即-$\frac{2}{3}$m²+2m=1-m，
整理得2m²-9m+3=0，解得m₁=$\frac{9+\sqrt{57}}{4}$（舍去），m₂=$\frac{9-\sqrt{57}}{4}$，
当1＜m＜3时，PQ=m-1，
若PQ=PN时，四边形PQMN为正方形，即-$\frac{2}{3}$m²+2m=m-1，
整理得2m²-3m-3=0，解得m₁=$\frac{3-\sqrt{33}}{4}$（舍去），m₂=$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$，
综上所述，当m=$\frac{9-\sqrt{57}}{4}$或m=$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$时，四边形PQMN为正方形．

点评本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会解一元二次方程．

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3．

如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为-3．

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7．

某中学为了了解初一年级学生数学学科的预习时间，在初一年级随机抽取了若干名学生进行调查，并把调查结果绘制成如下的不完整的统计表和统计图：

组别	预习时间x（分钟）	频数
1	0≤x＜5	8
2	5≤x＜10	m
3	10≤x＜15	18
4	15≤x＜20	13
合计		50

根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中m的值为11，并补全频数分布直方图；
（2）预习时间的中位数落在第3组；
（3）估计该校初一年级400名学生中，数学学科预习时间少于10分钟的学生人数．

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17．

如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且sinB=$\frac{4}{5}$．点E在AC上且AE：EC=2：3．则tan∠ADE等于（　　）

A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{2}{5}$

D．

$\frac{1}{2}$

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4．如图，二次函数y=kx²-3kx-4k（k≠0），的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，OC=OA．
（1）求点A坐标和抛物线的解析式；
（2）是否存在抛物线上的点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标．

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1．

如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则$\frac{{S}_{空白}}{{S}_{阴影}}$=$\frac{1}{5}$．

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2．已知多项式-5m³n²-6，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c．且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．
（1）求a，b，c的值，并在数轴上标出A，B，C
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A，B，C三点同时出发沿着枢轴负方向运动，它们的速度分别是$\frac{1}{2}，2，\frac{1}{4}$（单位长度/秒），通过计算说明：当出发$\frac{44}{7}$秒时甲、乙、丙谁离原点最远？
（3）在数轴上C点左侧是否存在一点P，使P到A，B，C的距离和等于20？若存在，请直接指出点P对应的数；若不存在，请说明理由．

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