Question

如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．
（1）求∠BOD的度数及点O到BD的距离；
（2）若DE=2BE，求cos∠OED的值．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）作OH⊥BD于D，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BAD=120°，而OB=OD，则∠ODB=30°，在Rt△ODH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OH=

1

2

OD=2，即点O到BD的距离为2；
（2）在Rt△ODH中据含30度的直角三角形三边的关系DH=

3

OH=2

3

，由于OH⊥BD，根据垂径定理得BH=DH=2

3

，即BD=4

3

，
而DE=2BE，则DE=

2

3

BD=

8 3

3

，所以HE=DE-DH=

2 3

3

，在Rt△OHE中，根据勾股定理计算出OE=

4 3

3

，然后利用余弦的定义求解．

解答：解：（1）作OH⊥BD于D，如图，
∵∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=30°，
在Rt△ODH中，OD=2，
∴OH=

1

2

OD=1，
即点O到BD的距离为1；

（2）在Rt△ODH中，∠ODB=30°，OD=2，OH=1，
∴DH=

3

OH=

3

，
∵OH⊥BD，
∴BH=DH=

3

，即BD=2

3

，
而DE=2BE，
∴DE=

2

3

BD=

4 3

3

，
∴HE=DE-DH=

2 3

3

，
在Rt△OHE中，OE=

OH2-HE2

=

4 3

3

，
cos∠OEH=

HE

OE

=

2 3 3

4 3 3

=

1

2

，
即cos∠OED的值为

1

2

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．