Question

如图1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，点E在AB边上，点F在AC边的延长线上，连接EF交BC于点M，交AD于点N，∠AEF=2∠F，EM=FM．
（1）求证：∠B=

3

2

∠F．
（2）如图2，过点A作AH⊥EF于H，若AH=5，△AEN的面积为15，求线段CF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点E作EG∥AC交BC于点G，就可以得出∠BGE=∠BCA，∠GEM=∠F，就有∠AEG=3∠F=∠B+∠BGE而得出结论；
（2）如图2，作EL∥BC交AC于L，连结NL，就可以得出∠AEL=∠ALE=∠B=∠ACB=

3

2

∠F，∠LEN=2∠F-

3

2

∠F=

1

2

∠F，就可以得出∠LNF=∠F，就有LN=LF=EN．由EG=EB=CF=LC就可以求出结论．

解答：解：（1）如图1，过点E作EG∥AC交BC于点G，
∴∠BGE=∠BCA，∠GEM=∠F，
∵∠AEF=2∠F，
∴∠GEM+∠AEF=∠F+2∠F=3∠F．
即∠AEG=3∠F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∴∠BGE=∠B．
∵∠AEG=∠B+∠BGE，
∴∠AEG=2∠B，
∴3∠F=2∠B，
∴∠B=

3

2

∠F；
（2）如图2，作EL∥BC交AC于L，连结NL
∴∠AEL=∠ALE=∠B=∠ACB=

3

2

∠F．
∴∠LEN=2∠F-

3

2

∠F=

1

2

∠F．
∵EG∥AC，EL∥BC，
∴四边形EGCL是平行四边形，
∴EG=LC．
在△EGM和△FCM中，

∠GEM=∠F EM=FM ∠GME=∠FMC

，
∴△EGM≌△FCM（ASA），
∴EG=CF，
∴LC=CF．
∴CF=

1

2

LF．
∵∠AEL=∠ALE，
∴AE=AL．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△EAN和△LAN中

EA=LA ∠BAD=∠CAD AN=AN

，
∴△EAN≌△LAN（SAS），
∴EN=LN．
∴∠LEN=∠ELN=

1

2

∠F．．
∵∠LNF=∠LEN+∠NLE=∠F，
∴LN=LF，
∴EN=LF．
∵

1

2

EN•AH=15，
∴

1

2

×5EN=15，
∴EN=6．
∴LF=6，
∴CF=3．

点评：本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用．解答时证明三角形全等是关键．