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【题目】(1)问题背景

如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合),求证: PA=PB+PC.

小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB,AP,AC,且AB=AC,这就为旋转作了铺垫.于是,小明同学有如下思考过程:

第一步:将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);

第二步:证明Q,B,P三点共线,进而原题得证.

请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.

(2)类比迁移

如图②,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值.

(3)拓展延伸

如图③,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,则OC的最小值为   

【答案】(1)证明见解析;(2)OC最小值是3﹣3;(3)

【解析】试题分析:(1)将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①),只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题;

(2)如图②中,连接OA,将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,在△BOQ中,利用三边关系定理即可解决问题;

(3)如图③构造相似三角形即可解决问题.作AQ⊥OA,使得AQ=OA,连接OQ,BQ,OB.由△QAB∽OAC,推出BQ=OC,当BQ最小时,OC最小;

试题解析:(1)将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);

∵BC是直径,∴∠BAC=90°,

∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°,

由旋转可得∠QBA=∠PCA,∠ACB=∠APB=45°,PC=QB,

∵∠PCA+∠PBA=180°,∴∠QBA+∠PBA=180°,∴Q,B,P三点共线,

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°,∴QP2=AP2+AQ2=2AP2

∴QP=AP=QB+BP=PC+PB,∴AP=PC+PB.

(2)如图②中,连接OA,将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,

∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,

由旋转可得 QB=OC,AQ=OA,∠QAB=∠OAC,∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°,

∴在Rt△OAQ中,OQ=3,AO=3 ,∴在△OQB中,BQ≥OQ﹣OB=3﹣3 ,

即OC最小值是3﹣3;

(3)如图③中,作AQ⊥OA,使得AQ=OA,连接OQ,BQ,OB.

∵∠QAO=∠BAC=90°,∠QAB=∠OAC,∵=

∴△QAB∽OAC,∴BQ=OC,

当BQ最小时,OC最小,易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQ﹣OB,∴OQ≥2,]

∴BQ的最小值为2,

∴OC的最小值为×2=

故答案为

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