Question

4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，连接CD、BE，若EF=AE．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）问∠ABE=∠EBF吗？说说你的理由
（3）写出图中所有的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得∠A=∠F，可证得△ADE≌△FCE；
（2）由（1）可得DE=CE，由角平分线的判定可知BE平分∠ABC，可求得∠ABE=∠EBF；
（3）结合（1）、（2）可写出等腰三角形．

解答 （1）证明：
∵DE垂直平分AB，
∴∠ADE=∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠A+∠ABC=∠F+∠ABC，
∴∠A=∠F，
在△ADE和△FCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠F}\\{∠ADE=∠FCE}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：相等，
理由如下：
∵△ADE≌△FCE，
∴DE=CE，
∵ED⊥AB，EC⊥BF，
∴点D在∠ABF的平分线上，
∴∠ABE=∠EBF；
（3）解：
由（1）可知△ADE≌△FCE，
∴CE=DE，
由（2）可知BE平分∠ABF，
∴∠DBE=∠CBE，
在△DBE和△CBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠ECB}\\{∠EBD=∠EBC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△DBE≌△CBE（AAS），
∴BC=BD，
∴等腰三角形有△ABE、△FEB、△BCD和△ECD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应边相等、对应角相等）．