Question

19．A（1，2），B（-2，1），P为y轴上一动点，PA+PB的最小值为$\sqrt{10}$；|PA-PB|最大值为$\sqrt{2}$；|PA-PB|最小值为0，此时P的坐标为（0，0）．

Answer 1

分析 ①连接AB交y轴于P₁，此时P₁A+P₁B最小，最小值=AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
②作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′，延长BA′交y轴于P₂，此时|PA-PB|最大值，最大值=BA′=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
③当PA=PB时，；|PA-PB|的值最小，最小值为0，求出线段AB的中垂线与y轴的交点即可．

解答 解：如图，

①连接AB交y轴于P₁，此时P₁A+P₁B最小，最小值=AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
②作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′，延长BA′交y轴于P₂，此时|PA-PB|最大值，最大值=BA′=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
③当PA=PB时，；|PA-PB|的值最小，最小值为0，
∵A（1，2），B（-2，1），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=-3x．
∵直线y=-3x与y轴交于点P（0，0），
∴当点P（0，0）时，；|PA-PB|的值最小．
故答案分别为$\sqrt{10}$，$\sqrt{2}$，0，（0，0）．

点评 本题考查轴对称-最短问题、两点之间线段最短、三角形的两边之差小于第三边、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．