Question

14．有若干个数，第一个数记为a₁，第二个数记为a₂，…，第n个数记为a_n，若a₁=-$\frac{1}{2}$，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，则：
（1）a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=3，a₄=-$\frac{1}{2}$，a₅=$\frac{2}{3}$；
（2）这列数有什么规律吗？写出你的发现；
（3）用你发现的规律，计算a₂₀₁₃是多少？

Answer 1

分析 （1）根据1与它前面那个数的差的倒数，即a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，即可求得a₂、a₃、a₄、a₅；
（2）然后根据（1）中得到结果出现的规律；
（3）利用（2）中的规律即可确定a₂₀₁₃．

解答 解：（1）根据题意，a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3，a₄=$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，a₅=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$，3，-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$；

（2）根据以上的计算可以得到a₁=a₄，则这些数三个数循环一次；

（3）∵2013÷3=671，
则a₂₀₁₃=a₃=3．

点评 本题考查了数字的变化规律，正确理解结果的循环的规律是关键．