Question

9．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的路线移动．
（1）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．
（2）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．

Answer 1

分析 （1）先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标；
（2）分为点P在OC、BC、AB、AO上分类计算即可．

解答 解：（1）2×4=8，
∴点P的坐标为（2，6）．
（2）如图1所示：

∵△OBP的面积=10，
∴$\frac{1}{2}OP•BC=10$，即$\frac{1}{2}×4×OP$=10．
解得：OP=5．
∴点P的坐标为（0，5）．
如图2所示；

∵△OBP的面积=10，
∴$\frac{1}{2}PB•OC=10$，即$\frac{1}{2}×6×PB$=10．
解得：BP=$\frac{10}{3}$．
∴CP=$\frac{2}{3}$．
∴点P的坐标为（$\frac{2}{3}$，6）．
如图3所示：

∵△OBP的面积=10，
∴$\frac{1}{2}BP•BC$=10，即$\frac{1}{2}×4×PB=10$．
解得：BP=5．
∴点P的坐标为（4，1）．
如图4所示：

∵△OBP的面积=10，
∴$\frac{1}{2}OP•AB$=10，即$\frac{1}{2}×6×OP$=10．
解得：OP=$\frac{10}{3}$．
∴点P的坐标为（$\frac{10}{3}$，0）．
综上所述，点P的坐标为（0，5）或（$\frac{10}{3}$，0）或（4，1）或（$\frac{2}{3}$，6）．

点评 本题主要考查的是三角形的面积公式的应用，分类讨论是解题的关键．