Question

5．已知矩形ABCD，点E在AD边上，连接BE、BD，∠BED=2∠BDC，BE=25，BC=32，则CD的长度为24．

Answer 1

分析 过E作EF⊥BD于F，根据矩形的性质得到∠C=∠ADC=90°，于是得到∠ADB+∠BDC=90°，根据已知条件推出180°-∠AEB=2（90°-∠ADB），得到∠AEB=2∠EDB，根据等腰三角形的性质得到BF=$\frac{1}{2}$BD，由平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，等量代换得到∠EBF=∠DBC，推出△EBF∽△DBC，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{BD}=\frac{BF}{BC}$，求得BD=40，由勾股定理即可得到结论．

解答 解：过E作EF⊥BD于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠BDC=90°，
∵∠BED=2∠BDC，
∴180°-∠AEB=2（90°-∠ADB），
∴∠AEB=2∠EDB，
∵∠AEB=∠ADB+∠EBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠EBF=∠DBC，
∴△EBF∽△DBC，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{BF}{BC}$，
∴BD²=2BC•BE=2×25×32=40²，
∴BD=40，
∴CD=$\sqrt{B{D}^{2}-B{C}^{2}}$=24．
故答案为：24．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，外角的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．