Question

【题目】已知抛物线y＝ax2﹣bx．

（1）若此抛物线与直线y＝x只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，0）．

①求此抛物线的解析式；

②以y轴上的点P（0，n）为中心，作该抛物线关于点P对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n的取值范围；

（2）若a＞0，将此抛物线向上平移c个单位（c＞0），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．试比较ac与1的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②n≤0；（2）ac≤1，见解析.

【解析】

（1）①△＝0求解b＝1，将点（3，0）代入平移后解析式，即可；

②顶点为（1，）关于P（0，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣），关于点P中心对称的新抛物线y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n，联立方程组即可求n的范围；

（2）将点（c，0）代入y＝ax2﹣bx+c得到ac﹣b+1＝0，b＝ac+1，当0＜x＜c时，y＞0. ≥c，b≥2ac，ac+1≥2ac，ac≥1；

解：（1）①ax2﹣bx＝x，ax2﹣（b+1）x＝0，

△＝（b+1）2＝0，b＝﹣1，

平移后的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣b（x﹣1）过点（3，0），

∴4a﹣2b＝0，

∴a＝﹣，b＝﹣1，

原抛物线：y＝﹣x2+x，

②其顶点为（1，）关于P（0，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣），

∴关于点P中心对称的新抛物线y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n．

由得：x2+2n＝0有解，所以n≤0．

（2）由题知：a＞0，将此抛物线y＝ax2﹣bx向上平移c个单位（c＞0），

其解析式为：y＝ax2﹣bx+c过点（c，0），

∴ac2﹣bc+c＝0 （c＞0），

∴ac﹣b+1＝0，b＝ac+1，

且当x＝0时，y＝c，

对称轴：x＝，抛物线开口向上，画草图如右所示．

由题知，当0＜x＜c时，y＞0．

∴≥c，b≥2ac，

∴ac+1≥2ac，ac≤1；