Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-

1

2

x²+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究

PQ

NP+BQ

是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）易得PQ=2

2

为定值，因此当NP+BQ取最小值时，

PQ

NP+BQ

有最大值．如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．

解答：解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，-1）．
∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
∴

c=-1 - 1 2 ×16+4b+c=-1

，
解得：b=2，c=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y=-

1

2

x²+2x-1．

（2）

PQ

NP+BQ

存在最大值．理由如下：
易知PQ=2

2

为定值，则当NP+BQ取最小值时，

PQ

NP+BQ

有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=

22+42

=2

5

．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2

5

．
∴

PQ

NP+BQ

的最大值为

2 2

2 5

=

10

5

．

点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．