Question

已知直线y=kx+3-k，当k=1，k=

3

2

以及取任何一个实数时，所得的直线总经过一个定点P．
（1）求定点P的坐标；
（2）若k=

3

2

时，直线y=kx+3-k分别交x轴、y轴于A、B两点，以点P为顶点的抛物线经过点A，求此抛物线的解析式；
（3）若k≠

3

2

时，直线y=kx+3-k与（2）中抛物线的另一个交点为E，求当k为何值时，在抛物线的对称轴上存在一点D，使得以A、B、E、D为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）分别将k=1，k=

3

2

代入求出两函数解析式，进而得出其交点坐标；
（2）利用顶点式求出函数解析式即可；
（3）根据①当AB为平行四边形的边时，则DE由AB平移所得，②当AB为平行四边形的对角线时分别求出符合题意的值即可．

解答：解：（1）当k=1，k=

3

2

时，

y=x+2 y= 3 2 x+ 3 2

，
解得：

x=1 y=3

，
所以P点坐标为（1，3）；

（2）当k=

3

2

时，求得A（-1，0），B（0，

3

2

）
设以点P（1，3）为顶点的抛物线为y=a（x-1）²+3，
将A（-1，0）代入y=a（x-1）²+3，
得a=-

3

4

所以，抛物线解析式为y=-

3

4

(x-1)2+3（或y=-

3

4

x2+

3

2

x+

9

4

）；

（3）①当AB为平行四边形的边时，则DE由AB平移所得，
i）若A平移至D，则B平移至E（如图1）

由对称轴为直线x=1，可知D横坐标为1，
又∵A（-1，0），B（0，

3

2

），可知E横坐标为2
将x=2代入y=-

3

4

(x-1)2+3，得y=

9

4

∴E坐标为（2，

9

4

）
把E坐标为（2，

9

4

）代入y=kx+3-k，得k=-

3

4

，
ii）若A平移至E，则B平移至D（如图2）

由对称轴为直线x=1，可知D横坐标为1，
又∵A（-1，0），B（0，

3

2

），可知E横坐标为0
将x=0代入y=-

3

4

(x-1)2+3，得y=

9

4

∴E坐标为（0，

9

4

）
把E坐标为（0，

9

4

）代入y=kx+3-k，得k=

3

4

，
②当AB为平行四边形的对角线时（如图3）

AB与DE交于点M，则M是AB中点，也是DE中点
又∵A（-1，0），B（0，

3

2

），可知M坐标为（-

1

2

，

3

4

）
∵可知D横坐标为1，所以E横坐标为-2
将x=-2代入y=-

3

4

(x-1)2+3，得y=-

15

4

∴E坐标为（-2，-

15

4

）
把E坐标为（-2，-

15

4

）代入y=kx+3-k，得k=

9

4

，
综上知，k=-

3

4

，

3

4

，

9

4

时，以A、B、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
（注：其它合理解法，酌情给分）

点评：此题主要考查了二次函数综合以及平行四边形的判定与性质以及待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键．