Question

20．已知在△ABC中，∠ACD=90°，AC=BC=2，BD是∠ABC的平分线，M、N分别是BC、BD上任意一点，当MN+CN最小时，CN长为2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 根据已知条件结合图形构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值，然后根据勾股定理即可求得CN的长．

解答 解：如图，在BA上截取BM=BM′，连接CM′．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵BD平分∠ABC，
∴∠NBM=∠NBM′，
在△BMN与△BM′N中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM′}\\{∠NBM=∠NBM′}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
∴MN+CN=CN+M′N≥CM′．
∵CN+MN有最小值．
当CM′是点C到直线AB的距离时，CM′为最小值，
所以CN+MN的最小值是$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
∵BM=BM′=$\sqrt{2}$，
∴CM=BC-BM=2-$\sqrt{2}$，
设MN=x，则M′N=x，
∴CN=$\sqrt{2}$-x，
在RT△MNC中，CN²=MN²+MC²，即（$\sqrt{2}$-x）²=x²+（2-$\sqrt{2}$）²，
解得，x=2$\sqrt{2}$-2，
∴CN=2$\sqrt{2}$-2．
故答案为2$\sqrt{2}$-2．

点评 此题考查了线路最短的问题，确定动点N为何位置时，使MN+CN的值最小是关键．