Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H，且AE=BE．AH与2BD相等吗？请说明理由．

Answer 1

分析 △ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，则BC=2BD，又BE是高，所以，∠AEH=∠BEC=90°，∠HAE+∠AHE=∠DAC+∠C，所以，∠AHE=∠C，所以，△AHE≌△BCE，则AH=BC，所以AH=2BD．

解答 相等．
证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，
∴BC=2BD，
又∵BE是高，
∴∠AEH=∠ADC=90°，
则∠DAC+∠AHE=∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠C，
在△AHE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEH=∠C}\\{AE=BE}\\{∠AEH=∠BEH}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△BCE（AAS），
∴AH=BC，
∴AH=2BD．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等，是证明线段或角相等的重要工具；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．