【题目】已知,把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放,(点C与E点重合),点B、C、E、F始终在同一条直线上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8,BC=6,EF=10,如图2,△DEF从图1出发,以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动,同时,点P从A出发,沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动,AC与△DEF的直角边相交于Q,当P到达终点B时,△DEF同时停止运动,连接PQ,设移动的时间为t(s).解答下列问题:
(1)△DEF在平移的过程中,当点D在Rt△ABC的边AC上时,求t的值;
(2)在移动过程中,是否存在△APQ为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(3)在移动过程中,当0<t≤5时,连接PE,是否存在△PQE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)t=5;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)根据等腰三角形性质求出即可;(2)①AP=AQ,求出即可;②AP=PQ,作PH⊥AC于H,根据相似得出比例式,即可求出答案;③AQ=PQ,作PH⊥AC于H,根据相似得出比例式,④当5≤t≤10时,AQ=PQ,作PH⊥BC,PG⊥AC,利用相似与勾股定理,即可求出答案;(3)分为三种情况,①∠PQE=90°,②∠PEQ=90°,③∠EPQ=90°,根据勾股定理得出方程,求出方程的解,看是否满足小于10即可.
(1)当D在AC上时,
∵DE=DF,
∴EC=CF=EF=5,
∴t=5.
(2)存在.
∵AP=t,∠EDF=90°,∠DEF=45°,
∴∠CQE=45°=∠DEF,
∴CQ=CE=t,
AQ=8﹣t,
当0≤t<5时,
①AP=AQ,
t=8﹣t,
∴t=4;
②AP=PQ,
作PH⊥AC于H,
AH=HQ=AQ=4﹣t,
∵PH∥BC,
∴△APH∽△ABC,
∴,
∴,
∴t=;
③AQ=PQ,
作QI⊥AB于I,
AI=PI=AP=t(等腰三角形的性质三线合一),
∵∠AIQ=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△AIQ∽△ACB,
∴,
∴,
∴t=,
④当5≤t≤10时,AQ=PQ,作PH⊥BC,PG⊥AC,连接PQ,
同理可求出:
FC=QC=10﹣t,BP=10﹣t,
PH=(10﹣t)=8﹣t,
BH=(10﹣t)=6﹣t,
QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣(8﹣t)=2﹣,
PG=HC=6﹣(6﹣t)=t,
PQ=AQ=8﹣(10﹣t)=t﹣2,
∴PQ 2=PG 2+QG 2,
(t﹣2)2=(t) 2+(2﹣) 2,
解得:t=秒,
其它情况不符合要求,
综合上述:当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形.
(3)作PW⊥AC于W,PH⊥BC于H,
由勾股定理:CE=CQ=t,
∵sinA===,cosA===,
∴PW=t,AW=t,
∴QW=8﹣t﹣t=8﹣t,
∴PQ2=PM2+QW2=(t)2+(8﹣t)2=t2﹣t+64,
PE2=PH2+EH2=(t+8﹣t)2+(t﹣t)2=t2﹣t+64,
QE2=2t2
①∠PQE=90°,
在Rt△PEQ中
PQ2+QE2=PE2,
即t2﹣t+64+2t2=t2﹣t+64,
解得:t1=0(舍去),t2=;
②∠PEQ=90°,
PE2+EQ2=PQ2
即t2﹣t+64+2t2=t2﹣t+64,
解得:t1=0(舍去),t2=20(舍去)
∴此时不存在;
③当∠EPQ=90°时
PQ2+PE2=EQ2,
即t2﹣t+64+t2﹣t+64=2t2,
t1=(舍去),t2=4,
综合上述:当t=或t=4时,△PQE是直角三角形.
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【题目】如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,点A的坐标为(10,0),抛物线y=ax2+bx+4过点B,C两点,且与x轴的一个交点为D(﹣2,0),点P是线段CB上的动点,设CP=t(0<t<10).
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;
(2)过点P作PE⊥BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时,∠PBE=∠OCD?
(3)点Q是x轴上的动点,过点P作PM∥BQ,交CQ于点M,作PN∥CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时,请求出t的值.
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【题目】如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=(x>0)的图象有个交点A,AB⊥x轴于点B.平移正比例函数y=kx的图象,使其经过点B(2,0),得到直线l,直线l与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求k和m的值;
(2)点M是直线OA上一点过点M作MN∥AB,交反比例函数y=(x>0)的图象于点N,若线段MN=3,求点M的坐标.
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【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别是边BC、CD的中点,直线EF交边AD的延长线于点M,交边AB的延长线于点N,连接BD.
(1) 求证:四边形DBEM是平行四边形;
(2) 连接CM,当四边形ABCM为平行四边形时,求证:MN=2DB.
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【题目】一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( ).
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
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【题目】如图,点A、B是反比例函数y=(k≠0)图象上的两点,延长线段AB交y 轴于点C,且点B为线段AC中点,过点A作AD⊥x轴子点D,点E 为线段OD的三等分点,且OE<DE.连接AE、BE,若S△ABE=7,则k的值为( )
A. ﹣12 B. ﹣10 C. ﹣9 D. ﹣6
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【题目】如图,正方形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,点B在双曲线(x<0)上,点D在双曲线(x>0)上,点D的坐标是 (3,3)
(1)求k的值;
(2)求点A和点C的坐标.
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【题目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点B的直线MN∥AC,D为BC边上一点,连接AD,作DE⊥AD交MN于点E,连接AE.
(1)如图①,当∠ABC=45°时,求证:AD=DE;理由;
(2)如图②,当∠ABC=30°时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由;
(3)当∠ABC=α时,请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含α的三角函数表示)
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,点E在AB上,∠DEC=90°.
(1)求证:△ADE∽△BEC.
(2)若AD=1,BC=3,AE=2,求AB的长.
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