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【题目】已知,把RtABCRtDEF按图1摆放,(点CE点重合),点BCEF始终在同一条直线上,∠ACB=EDF=90°,∠DEF=45°AC=8BC=6EF=10,如图2DEF从图1出发,以每秒1个单位的速度沿CBABC匀速运动,同时,点PA出发,沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动,ACDEF的直角边相交于Q,当P到达终点B时,DEF同时停止运动,连接PQ,设移动的时间为ts).解答下列问题:

(1)DEF在平移的过程中,当点DRtABC的边AC上时,求t的值;

(2)在移动过程中,是否存在APQ为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.

(3)在移动过程中,当0t≤5时,连接PE,是否存在PQE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.

【答案】(1)t=5;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1)根据等腰三角形性质求出即可;(2)AP=AQ,求出即可;②AP=PQ,作PHACH,根据相似得出比例式,即可求出答案;③AQ=PQ,作PHACH,根据相似得出比例式,④当5t10时,AQ=PQ,作PHBCPGAC,利用相似与勾股定理,即可求出答案;(3)分为三种情况,①∠PQE=90°,②∠PEQ=90°,③∠EPQ=90°,根据勾股定理得出方程,求出方程的解,看是否满足小于10即可.

(1)DAC上时,

DE=DF

EC=CF=EF=5

t=5

(2)存在.

AP=t,∠EDF=90°,∠DEF=45°

∴∠CQE=45°=DEF

CQ=CE=t

AQ=8t

0≤t5时,

AP=AQ

t=8t

t=4

AP=PQ

PHACH

AH=HQ=AQ=4t

PHBC

∴△APH∽△ABC

t=

AQ=PQ

QIABI

AI=PI=AP=t(等腰三角形的性质三线合一),

∵∠AIQ=ACB=90°,∠A=A

∴△AIQ∽△ACB

t=

④当5≤t≤10时,AQ=PQ,作PHBCPGAC,连接PQ

同理可求出:

FC=QC=10tBP=10t

PH=10t=8t

BH=10t=6t

QG=QCGC=QCPH=10t﹣(8t=2

PG=HC=6﹣(6t=t

PQ=AQ=8﹣(10t=t2

PQ 2=PG 2+QG 2

t22=t 2+2 2

解得:t=秒,

其它情况不符合要求,

综合上述:当t等于4秒、秒、秒、秒时APQ是等腰三角形.

(3)PWACWPHBCH

由勾股定理:CE=CQ=t

∵sinA===cosA===

∴PW=tAW=t

∴QW=8tt=8t

∴PQ2=PM2+QW2=t2+8t2=t2t+64

PE2=PH2+EH2=t+8t2+tt2=t2t+64

QE2=2t2

①∠PQE=90°

Rt△PEQ

PQ2+QE2=PE2

t2t+64+2t2=t2t+64

解得:t1=0(舍去),t2=

②∠PEQ=90°

PE2+EQ2=PQ2

t2t+64+2t2=t2t+64

解得:t1=0(舍去),t2=20(舍去)

∴此时不存在;

∠EPQ=90°

PQ2+PE2=EQ2

t2t+64+t2t+64=2t2

t1=(舍去),t2=4

综合上述:当t=t=4时,△PQE是直角三角形.

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