Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. 点D(2，3)在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点.

（1）求该抛物线对应的二次函数关系式；

（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为(0，n)，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形.①求n的值；②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+2x+3；（2）F（，）；（3）n=，T(0，-)或n=-，T(0，).

【解析】

（1）用待定系数法求解即可；

（2）作FH⊥AD，过点F作FM⊥x轴，交AD与M，易知当S△FAD最大时，点F到直线AD距离FH最大，求出直线AD的解析式，设F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，表示出△FAD的面积，然后利用二次函数的性质求解即可；

（3）分AP为对角线和AM为对角线两种情况求解即可.

解：（1）∵抛物线x轴相交于点A（－1，0），B（3，0），

∴设该抛物线对应的二次函数关系式为y=a(x+1)(x－3)，

∵点D（2，3）在抛物线上，

∴3=a×(2+1) ×(2－3)，

∴3=－3a，

∴a=－1，

∴y=－(x+1)(x－3)，

即y=－x2+2x+3；

（2）如图1，作FH⊥AD，过点F作FM⊥x轴，交AD与M，易知当S△FAD最大时，点F到直线AD距离FH最大，

设直线AD为y=kx+b，

∵A(－1，0)，D(2，3)，

∴，

∴，

∴直线AD为y=x+1.

设点F的横坐标为t，则F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，

∵S△FAD= S△AMF+ S△DMF=MF(Dx-Ax)

= ×3（－t2+2t+3-t-1）=×3(－t2+t+2)

=－(t－)2+，

∴即当t=时，S△FAD最大，

∵当x=时，y=－()2+2×+3=，

∴F(，)；

（3）∵y=－x2+2x+3=-(x-1)2+4，

∴顶点M(1，4).

当AP为对角线时，如图2，

设抛物线对称轴交x轴于点R，作PS⊥MR，

∵∠PMS+∠AMR=90°， ∠MAR+∠AMR=90°，

∴∠PMA=∠MAR，

∵∠PSM=∠ARM=90°，

∴△PMS∽△MAR，

∴，

∴，

∴MS=，

∴OP=RS=4+=，

∴n=；

延长QA交y轴于T，

∵PM∥AQ，

∴∠MPO=∠OAM，

∵∠MPS+∠MPO=90°， ∠OAT+∠OAM=90°，

∴∠MPS=∠OAT.

又∵PS=OA=1，∠PSM=∠AOT=90°，

∴△PSM≌△AOT，

∴AT=PM=AQ，OT=MS=.

∵AM⊥AQ，

∴T和Q关于AM对称，

∴T(0，-)；

当AQ为对角线时，如图3，

过A作SR⊥x轴，作PS⊥SR于S，作MR⊥SR于R，

∵∠RAM+∠SAP=90°， ∠SAP+∠SPA=90°，

∴∠RAM=∠SPA，

∵∠PSA=∠ARM=90°，

∴△PSA∽△ARM，

∴，

∴，

∴AS=，

∴OP=，

∴n=-；

延长QM交y轴于T，

∵QM∥AP，

∴∠APT=∠MTP，

∵∠OAP+∠APT=90°， ∠GMT+∠MTP=90°，

∴∠OAP=∠GMT.

又∵GM=OA=1，∠AOP=∠MGT=90°，

∴△OAP≌△GMT，

∴MT=AP=MQ，GT=OP=.

∵AM⊥TQ，

∴T和Q关于AM对称，

∵OT=4+=，

∴T(0，).

综上可知，n=，T(0，-)或n=-，T(0，).