【题目】如图,AB是⊙O的直径,过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD.
(1)求证:OP⊥CD;
(2)连接AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的长.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)方法1、先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP,得出∠DOP=∠COP,即可得出结论;
方法2、判断出OP是CD的垂直平分线,即可得出结论;
(2)先求出∠COD=60°,得出△OCD是等边三角形,最后用锐角三角函数即可得出结论.
解:(1)方法1、连接OC,OD,
∴OC=OD,
∵PD,PC是⊙O的切线,
∵∠ODP=∠OCP=90°,
在Rt△ODP和Rt△OCP中,,
∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL),
∴∠DOP=∠COP,
∵OD=OC,
∴OP⊥CD;
方法2、∵PD,PC是⊙O的切线,
∴PD=PC,
∵OD=OC,
∴P,O在CD的中垂线上,
∴OP⊥CD
(2)如图,连接OD,OC,
∴OA=OD=OC=OB=2,
∴∠ADO=∠DAO=50°,∠BCO=∠CBO=70°,
∴∠AOD=80°,∠BOC=40°,
∴∠COD=60°,
∵OD=OC,
∴△COD是等边三角形,
由(1)知,∠DOP=∠COP=30°,
在Rt△ODP中,OP==.
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【题目】如图,一人站在两等高的路灯之间走动,为人在路灯照射下的影子,为人在路灯照射下的影子.当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是( )
A.先变长后变短B.先变短后变长
C.不变D.先变短后变长再变短
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…都是等腰直角三角形,其直角顶点P1(3,3),P2,P3,…均在直线y=﹣x+4上.设△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…的面积分别为S1,S2,S3,…,根据图形所反映的规律,S2019=( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,已知抛物线经过点和点,与轴交于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点是直线下方的抛物线上一动点(不点,重合),过点作轴的平行线交直线于点,设点的横坐标为.
①用含的代数式表示线段的长;
②连接,,求的面积最大时点的坐标;
(3)设抛物线的对称轴与交于点,点是抛物线的对称轴上一点,为轴上一点,是否存在这样的点和点,使得以点、、、为顶点的四边形是菱形?如果存在,请直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题,如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图,其中,AB⊥BD,∠BAD=18°,C在BD上,BC=0.5m.根据规定,地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志,以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小刚认为CD的长就是所限制的高度,而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小刚和小亮谁说得对?请你判断并计算出正确的限制高度.(结果精确到0.1m,参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.325)
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【题目】“2019大洋湾盐城马拉松”的赛事共有三项:A,“全程马拉松”、B,“半程马拉松”、C.“迷你健身跑”,小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作,组委会随机将志愿者分配到三个项目组.
(1)小明被分配到“迷你健身跑”项目组的概率为 ;
(2)求小明和小刚被分配到不同项目组的概率.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,下列结论中:
①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠-1).
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】在综合实践课中,小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开,无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状,且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计,若已知,,.
求(1)线段与的差值是___
(2)的长度.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C. 点D(2,3)在该抛物线上,直线AD与y轴相交于点E,点F是直线AD上方的抛物线上的动点.
(1)求该抛物线对应的二次函数关系式;
(2)当点F到直线AD距离最大时,求点F的坐标;
(3)如图2,点M是抛物线的顶点,点P的坐标为(0,n),点Q是坐标平面内一点,以A,M,P,Q为顶点的四边形是AM为边的矩形.①求n的值;②若点T和点Q关于AM所在直线对称,求点T的坐标.
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