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【题目】如图,AB是⊙O的直径,过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PCPD,切点分别为CD,连接OPCD

1)求证:OPCD

2)连接ADBC,若∠DAB50°,∠CBA70°OA2,求OP的长.

【答案】(1)详见解析;(2).

【解析】

1)方法1、先判断出RtODPRtOCP,得出∠DOP=∠COP,即可得出结论;
方法2、判断出OPCD的垂直平分线,即可得出结论;
2)先求出∠COD60°,得出△OCD是等边三角形,最后用锐角三角函数即可得出结论.

解:(1)方法1、连接OCOD

OCOD

PDPC是⊙O的切线,

∵∠ODP=∠OCP90°

RtODPRtOCP中,

RtODPRtOCP(HL)

∴∠DOP=∠COP

ODOC

OPCD

方法2、∵PDPC是⊙O的切线,

PDPC

ODOC

POCD的中垂线上,

OPCD

2)如图,连接ODOC

OAODOCOB2

∴∠ADO=∠DAO50°,∠BCO=∠CBO70°

∴∠AOD80°,∠BOC40°

∴∠COD60°

ODOC

∴△COD是等边三角形,

由(1)知,∠DOP=∠COP30°

RtODP中,OP

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A.B.C.D.

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