【题目】如图,已知抛物线经过点
和点
,与
轴交于点
.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点是直线
下方的抛物线上一动点(不点
,
重合),过点
作
轴的平行线交直线
于点
,设点
的横坐标为
.
①用含的代数式表示线段
的长;
②连接,
,求
的面积最大时点
的坐标;
(3)设抛物线的对称轴与交于点
,点
是抛物线的对称轴上一点,
为
轴上一点,是否存在这样的点
和点
,使得以点
、
、
、
为顶点的四边形是菱形?如果存在,请直接写出点
的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)①用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m;②△PBC的面积最大时点P的坐标为(,﹣
);(3)存在这样的点M和点N,使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形.点M的坐标为M1(2,3),M2(2,1﹣2
),M3(2,1+2
).
【解析】
(1)根据已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0)代入即可求解;
(2)①先确定直线BC解析式,根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,即可用含m的带上书表示出P和D的坐标进而求解;
②用含m的代数式表示出△PBC的面积,可得S是关于m的二次函数,即可求解;
(3)根据(1)中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,
∴,解得
,
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
(2)①设P(m,m2﹣4m+3),
将点B(3,0)、C(0,3)代入得直线BC解析式为yBC=﹣x+3.
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,
∴D(m,﹣m+3),
∴PD=(﹣m+3)﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m.
答:用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m.
②S△PBC=S△CPD+S△BPD
=OBPD=﹣
m2+
m
=﹣(m﹣
)2+
.
∴当m=时,S有最大值.
当m=时,m2﹣4m+3=﹣
.
∴P(,﹣
).
答:△PBC的面积最大时点P的坐标为(,﹣
).
(3)存在这样的点M和点N,使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形.
根据题意,点E(2,1),
∴EF=CF=2,
∴EC=2,
根据菱形的四条边相等,
∴ME=EC=2,∴M(2,1-2
)或(2,1+2
)
当EM=EF=2时,M(2,3)
∴点M的坐标为M1(2,3),M2(2,1﹣2),M3(2,1+2
).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连结AD.已知∠CAD=∠B,
(1)求证:AD是⊙O的切线.
(2)若BC=8,tanB=,求⊙O 的半径.
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【题目】将矩形纸片沿对角线
翻折,使点
的对应点
(落在矩形
所在平面内,
与
相交于点
,接
.
(1)在图1中,
①和
的位置关系为__________________;
②将剪下后展开,得到的图形是_________________;
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(),如图2所示,结论①、②是否成立,若成立,请对结论②加以证明,若不成立,请说明理由
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【题目】植树节期间,某单位欲购进A、B两种树苗,若购进A种树苗3棵,B种树苗5棵,需2100元,若购进A种树苗4棵,B种树苗10棵,需3800元.
(1)求购进A、B两种树苗的单价;
(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵,求A种树苗至少需购进多少棵?
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【题目】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷第九“勾股”章,主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系.其中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”译文:“如图,今有一座长方形小城,东西向城墙长7里,南北向城墙长9里,各城墙正中均开一城门.走出东门15里处有棵大树,问走出南门多少步恰好能望见这棵树?”(注:1里=300步)你的计算结果是:出南门________步而见木.
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【题目】某市为了解九年级学生数学模拟考试成绩情况,随机抽取部分学生的成绩进行分析,制成频数分布表如下(成绩得分均为整数):
组别 | 成绩分组 | 频数 | 频率 |
1 | 47.5~59.5 | 2 | 0.05 |
2 | 59.5~71.5 | 4 | 0.10 |
3 | 71.5~83.5 | a | 0.2 |
4 | 83.5~95.5 | 10 | 0.25 |
5 | 95.5~107.5 | b | c |
6 | 107.5~120 | 6 | 0.15 |
合计 | d | 1.00 |
根据表中提供的信息解答下列问题:
(1)频数分布表中的a= ,b= ,c= ,d= ;
(2)补充完整频数分布直方图.
(3)已知全市九年级共有3500名学生参加考试,成绩96分及以上为优秀,估计全市九年级学生数学模拟考试成绩为优秀的学生人数是多少?
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【题目】阅读下面材料:
已知实数m,n满足(2m3+n3+1)(2m3+n3-1)=80,试求2m3+n3的值
解:设2m3+n3=t,则原方程变为(t+1)(t-1)=80,整理得t2-1=80,t2=81, t=±9,所以2m3+n3=±9
上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
已知实数x,y满足(4x2+4y2+3)(4x2+4y2-3)=27,求x2+y2的值.
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【题目】已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣2(a≠0).
(1)该二次函数图象的对称轴是直线 ;
(2)若该二次函数的图象开口向上,当﹣1≤x≤5时,函数图象的最高点为M,最低点为N,点M的纵坐标为,求点M和点N的坐标;
(3)若该二次函数的图象开口向下,对于该二次函数图象上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x2≥3时,均有y1≥y2,请结合图象,直接写出x1的取值范围.
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