Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD，点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

设BD＝x，由折叠性质得AD与CD，在Rt△ACD中由勾股定理列出x的方程，进而求得DE，得出⊙P不能与AB相切，进而分两种情况：⊙P与AC相切和⊙P与BC相切，过P作切线的垂线段，再根据相似三角形的比例线段便可求得结果．

解：设BD＝x，由折叠知AD＝BD＝x，CD＝16﹣x，

在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2＝82+（16﹣x）2，

解得，x＝10，

∴CD＝10，

∵AB＝==，

∴AE＝BE＝AB＝，

∴DE＝，

∴点P是线段AD上运动时，⊙P不可能与AB相切，

分两种情况：①当⊙P与AC相切时，过点P作PF⊥AC于点F，如图1，

∴PF＝5，PF∥CD，

∴△APF∽△ADC，

∴，即，

∴；

②⊙P与BC相切时，过点P作PG⊥BC于点G，如图2，

∴PG＝5，PG∥AC，

∴△DPG∽△DAC，

∴，即，

∴DP＝，

∴AP＝10﹣=，

综上，AP的长为或．