已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l₁：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l₂： $数学公式$ 相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l₁于点E，交直线l₂于点D，平行于y轴的直x=a交直线l₁于点M，交直线l₂于点N，若MN=2ED，求a的值；
（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

解：（1）联立两直线解析式得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
则C坐标为（3，1）；
（2）如图1所示，将x=1代入y=-x+4得：y=-1+4=3；代入y= $\text{[math]}$ x得：y= $\text{[math]}$ ，
∴DE=OE-OD=3- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴MN=2DE= $\text{[math]}$ ，
将x=a代入y=-x+4得：y=-a+4；代入y= $\text{[math]}$ x得：y= $\text{[math]}$ a，
∴MN=|-a+4- $\text{[math]}$ a|= $\text{[math]}$ ，
解得：a=-1或a=7，
则a的值为-1或7；
（3）过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，可得∠POQ=90°，
∵∠BPO=135°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠Q=∠OPQ=45°，
∴△POQ为等腰直角三角形，
∴OP=OQ，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ，
∵OA=OB=4，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△AOP∽△BOQ，
∴∠APO=∠BQO=45°，
∴∠APB=∠BPO-∠APO=90°，
则AP⊥BP．
分析：（1）联立两直线解析式得到方程组，求出方程组的解即可确定出C的坐标；
（2）将x=1代入两直线方程求出对应y的值，确定出D与E的纵坐标，即OD与OE的长，由OE-OD求出DE的长，根据MN=2DE，求出MN的长，将x=a代入两直线方程，求出M与N对应的横坐标，相减的绝对值等于MN的长列出关于a的方程，求出方程的解即可求出a的值；
（3）AP⊥BP，理由为：过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，由∠BPO为135°，得到∠OPQ为45°，又∠POQ为直角，可得出三角形OPQ为等腰直角三角形，再利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形AOP与三角形BOQ相似，由相似三角形的对应角相等得到∠APO=∠BQO=45°，由∠BPO-∠APO得到∠APB为直角，即AP⊥BP．
点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，以及坐标与图形性质，是一道中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

（2012•锡山区一模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=

相交于C、D两点，且点D的坐标为（1，6）．
（1）当点C的横坐标为2时，试求直线AB的解析式，并直接写出

的值为

．
（2）如图2，当点A落在x 轴的负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．
①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由；
②当

=2时，求tan∠OAB的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l₁：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l₂：y=

x相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l₁于点E，交直线l₂于点D，平行于y轴的直x=a交直线l₁于点M，交直线l₂于点N，若MN=2ED，求a的值；
（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知，如图1，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=2，点P从C点出发，沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连接PA、PB，

D为AC的中点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设点P运动的时间为t秒，问当t为何值时，DB与DP垂直且相等？
（3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连接QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由，并求其值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交与点A、B，与双曲线y＝相交于C、D两点，且点D的坐标为（1，6）.