Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆的斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；                        
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的半径．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由Rt△ABC中，∠ACB=90°，可得AD是直径，可得△ADE为直角三角形，在两个直角三角形中，利用AAS可得两三角形全等，得到答案；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，由（1）知，AC=AE，CD=DE，设CD=x，则BD=8-x，在Rt△BDE中，根据勾股定理求出x的值，同理，在Rt∠ACD中求出AD的长，进而可得出结论．

解答：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AD为圆的直径，
∴∠AED=90°，
∵AD是△BAC的∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
Rt△ACD与Rt△ADE中，

∠CAD=∠BAD ∠ACB=∠AED AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△ADE（AAS），
∴AC=AE．

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10．
∵由（1）知，AC=AE，CD=DE，∠ACD=∠AED=90°，
∴设CD=x，则BD=8-x，BE=AB-AE=10-6=4，
在Rt△BDE中，BE²+DE²=BD²，即，4²+x²=（8-x）²，解得x=3．
在Rt△ACD中，AC²+CD²=ADD²，即，6²+3²=AD²，解得AD=3

5

，
∴△ACD外接圆的半径=

AD

2

=

3 5

2

．

点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形斜边的中点是外接圆的圆心是解答此题的关键．