Question

在?ABCD中，∠A=45°，BD⊥AD，点M在射线AB上，连结DM，过点M作MN⊥DM，交直线BC于点N．

（1）当点N在线段CB的延长线上（如图1）时，求证：

2

BM-BN=AD；
（2）当点N在线段BC的延长线上（如图2）时，BM、BN、AD的数量关系为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）作EM⊥MB于M，交CB的延长线于点E，结合已知找到△MEN≌△MBD的条件，再利用线段的和差可得出结论；
（2）类似（1）的方法，证明△MEN≌△MBD可得出相同的结论．

解答：（1）证明：如图一，作EM⊥MB于M，交CB的延长线于点E，
∵MN⊥DM，
∴∠DMN=∠CMB=90°，
∴∠DMB=∠EMN，
∵∠A=45°，
∴∠MBN=45°，∠MEB=45°，∠DBM=45°，
∴BM=ME，
 在△MEN和△MBD中

∠EMN=∠DMB ∠MEB=∠DBM ME=MB

，
∴△MEN≌△MBD（AAS），
∴BD=NE，
∵BC=BD，且

2

MB=BE，
∴

2

MB=NB+NE=BD+BN，
且AD=BD，
∴

2

MB-BN=AD；
（2）证明：如图二，作EM⊥BM，交BC于点E，
∵BD⊥AD，MN⊥DM，
∴∠DBE=∠NMD=90°，
∴∠BDM=∠BNM，
∵EM⊥BM，
∴∠NBM=90°+45°=135°，
∵∠DBM=135°，
∴∠DBM=∠NBM，且∠EBM=45°，
∴∠NEM=135°，BM=ME，
在△BDM和△ENM中，

∠BDM=∠ENM ∠DBM=∠NEM MB=ME

，
∴△BDM≌△ENM（AAS），
∴BD=EN，
∵

2

BM=BE，
∴

2

BM-BN=AD．
故答案为：

2

MB-BN=AD．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定，利用条件构造△MEN，并找到△BDM≌△ENM的条件是解题的关键．