Question

4．如图所示，在平面直角坐标系中△ABC三个顶点的坐标分别是点A（-2，3）、点B（-1，1）、点C（0，2）．
（1）作△ABC关于C成中心对称的△A₁B₁C₁；
（2）将△A₁B₁C₁向右平移3个单位，作出平移后的△A₂B₂C₂；
（3）在x轴上求作一点P，使PA₁+PC₁的值最小，并写出点 P 的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据关于原点对称的点的坐标特征分别作出点A、B、C关于原点的对称点A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁；
（2）根据平移的性质分别作出点A₁、B₁、C₁对称点A₂、B₂、C₂，即可得到△A₂B₂C₂；
（3）由于点C和C₁关于x轴对称，连结CA₁交x轴于P，则PC=PC₁，所以PC₁+PA₁=PC+PA₁=CA₁，根据两点之间线段最短得到PA₁+PC₁的值最小，接着利用待定系数法求出直线CA₁的解析式为y=-$\frac{5}{2}$x+2，然后计算函数为0时的自变量的值即可得到点P的坐标．

解答 解：（1）如图，△A₁B₁C₁为所求；
（2）如图，△A₂B₂C₂为所求；
（3）点C和C₁关于x轴对称，连结CA₁交x轴于P，则PC=PC₁，
则PC₁+PA₁=PC+PA₁=CA₁，
此时PA₁+PC₁的值最小，
设直线CA₁的解析式为y=kx+b，
把C（0，2$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$），A₁（2，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直线CA₁的解析式为y=-$\frac{5}{2}$x+2，
当y=0时，-$\frac{5}{2}$x+2=0，解得x=$\frac{4}{5}$，
所以点P的坐标为（$\frac{4}{5}$，0）．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称和平移变换．