Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．

求证：DE=DF．

Answer 1

【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．

【解答】证明：

证法一：连接AD．

∵AB=AC，点D是BC边上的中点

∴AD平分∠BAC（三线合一性质），

∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．

∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

证法二：在△ABC中，

∵AB=AC

∴∠B=∠C（等边对等角） …

∵点D是BC边上的中点

∴BD=DC       …

∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F

∴∠BED=∠CFD=90°…

在△BED和△CFD中

∵，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．