Question

如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

Answer 1

【考点】几何变换综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；

（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；

②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．

【解答】解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠GAO+∠DEO=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：

（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，

∵OA=OD=OG=OG′，

∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，

∴OD∥AG′，

∴∠DOG′=∠AG′O=30°，

即α=30°；

（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°﹣30°=150°．

综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．

②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴OA=OD=OC=OB=，

∵OG=2OD，

∴OG′=OG=，

∴OF′=2，

∴AF′=AO+OF′=+2，

∵∠COE′=45°，

∴此时α=315°．

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当∠OAG′是直角时，求α的度数是本题的难点．