Question

16．如图，抛物线y=ax²-2ax+b与x轴交于A、B两点，交y轴负半轴于点C，已知B（3，0），C（0，-3），D为顶点．
（1）求抛物线解析式；
（2）E是抛物线在第三象限部分上的点，点E关于直线BC的对称点恰好在直线BD上，求E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先求得A、B和D的坐标，然后利用待定系数法求得BC的解析式，然后利用平移的性质求得D的对称点的坐标，从而求得直线BE的解析式，进而求得E的坐标．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=x²-2x-3；
（2）y=x²-2x-3=（x-1）2-4，
则D的坐标是（1，-4）．
在y=x²-2x-3中令x=0，解得y=-3，则C的坐标是（0，-3）．
在y=x²-2x-3中令y=0，则x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（3，0）．
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=x-3．
设过D且与BC垂直的直线解析式是y=-x+c，把（1，-4）代入得-1+c=-4，解得c=-3，
则直线的解析式是y=-x-3．则DE一定经过点C．
把D（1，-4）平移到C（0，-3）是向左平移一个单位长度，向上平移1个单位长度．
则把C向左平移一个单位长度，向上平移1个单位长度后得到D的对称点D'，则D'的坐标是（-1，-2）．
设直线BD'的解析式是y=mx+n，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{-m+n=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
则直线BD'的解析式是y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
根据题意得：x²-2x-3=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
解得：x=-$\frac{1}{2}$或3．
当x=-$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{7}{4}$，则E的坐标是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图象的平移、直线垂直的条件，正确求得D的对称点的坐标是关键．