Question

【题目】如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P.点C在OP上，且BC=PC.

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若OA=3，AB=2，求BP的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）7

【解析】

试题分析：（1）连结OB.由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；

（2）连结DB.由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式，即可得到结果.

试题解析：（1）连结OB.

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，

又∵BC=PC，

∴∠P=∠CBP，

∵OP⊥AD，

∴∠A+∠P=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，

∵点B在⊙O上，

∴直线BC是⊙O的切线，

（2）如图，连结DB.

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴Rt△ABD∽Rt△AOP，

∴，即，AP=9，

∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7.