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【题目】如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM,射线AE于点F、D.

(1)问题发现:直接写出∠NDE= 度;

(2)拓展探究:试判断,如图②当∠EAC为钝角时,其他条件不变,∠NDE的大小有无变化?请给出证明.

(3)如图③,若∠EAC=15°,BD=,直线CM与AB交于点G,其他条件不变,请直接写出AC的长.

【答案】(1)90°;

(2)证明见解析;

(3)AC=2.

【解析】分析:(1)根据题意证明△MAC≌△NBC即可;(2)∠NDE的大小不变,证明△MAC≌△NBC,得到∠N=∠AMC,又∠MFD=∠NFC,所以∠MDF=∠FCN=90°,即∠NDE=90°.(3)先证明△MAC≌△NBC,所以∠NBC=∠MAC=15°,再证明∠BDH=∠ACH=90°,∠ABD=60°,求出AB=2,根据AC=ABcos45°,即可解答.

本题解析:

(1)∵∠ACB=90°,∠MCN=90°,∴∠ACM=∠BCN,

在△MAC和△NBC中,

,∴△MAC≌△NBC,∴∠NBC=∠MAC=90°,

又∵∠ACB=90°,∠EAC=90°,∴∠NDE=90°.

故答案为:90°.

(2)∠NDE的大小不变,

在△MAC和△NBC中,

,∴△MAC≌△NBC,∴∠N=∠AMC,

又∵∠MFD=∠NFC,∴∠MDF=∠FCN=90°,即∠NDE=90°.

(3)AC=2,

在△MAC和△NBC中,

∴△MAC≌△NBC,∴∠NBC=∠MAC=15°,

如图③,设BC与AD交于点H,

又∵∠AHC=∠BHD,∴∠BDH=∠ACH=90°,

∴在Rt△ABD中,∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°

∵BD=,∴AB=2

∴AC=ABcos45°=2.

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