Question

【题目】如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B，C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．

（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 ， 图③中∠APB的度数是；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠APB=120°

图1：∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC=60°．

∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，

∴∠BAM=∠CBN，

又∵∠APN=∠BPM，

∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，

∴∠APB=180°﹣∠APN=120°；

（2）90°,72°
（3）解：由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中， ．
【解析】解：（1）∠APB=120°

图1：∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC=60°．

∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，

∴∠BAM=∠CBN，

又∵∠APN=∠BPM，

∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，

∴∠APB=180°﹣∠APN=120°；

（2）同理可得：∠APB=90°；∠APB=72°．
（3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数为 ．
所以答案是：（1）120°；（2）90°；72°．（3）∠APB=所在多边形的外角度数为 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，以及对正多边形和圆的理解，了解圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；圆的外切四边形的两组对边的和相等．