Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点F坐标为（4，2），OG边与y轴重合．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）若（2）中求出的反比例函数的图象与EF交于B点，请探索：直线AB与OM的位置关系，并说明理由；
（4）在GF所在直线上，是否存在一点Q，使△AOQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的Q点坐标．

Answer 1

（1）解：△OGA∽△NPO，
理由是：∵将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠AGO=90°，PN∥OM，
∴∠PNO=∠AOG，
∴△OGA∽△NPO；

（2）解：∵△OGA∽△NPO，
∴=，
∵OP=OG=2，PN=OM=OE=4，
∴AG=1，
∴A（1，2），
设过点A的反比例函数解析式是y=，代入得：k=2，
即过点A的反比例函数解析式是y=；

（3）解：AB⊥OM，
理由是：∵把x=4代入y=得：y=，
即B（4，），
∴BE=，BF=2-=，
∵A（1，2），
∴AG=1，OG=2，
∴AF=4-1=3，
∴==，=，
∴=，
∵∠AGO=∠F=90°，
∴△AGO∽△BFA，
∴∠OAG=∠ABF，
∵∠FAB+∠ABF=180°-90°=90°，
∴∠OAG+∠FAB=90°，
∴∠OAB=180°-90°=90°，
∴AB⊥OM．

（4）如图所示：
当AO=AQ₁=时，Q₁（1+，2）；
当AO=OQ₂=时，Q ₂（-1，2），
当AO=AQ₃=时，Q ₃（1-，2），
当AQ₄=OQ₄时，Q ₄（-1.5，2）．
故Q点的坐标为：Q （1+，2）或Q（1-，2）或Q（-1，2）或Q（-1.5，2）．
分析：（1）根据矩形性质得出∠P=∠AGO=90°，PN∥OM，根据平行线性质求出∠PNO=∠AOG，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似得出比例式，求出AG长，即可得出A的坐标，设过点A的反比例函数解析式是y=，把A的坐标代入求出即可；
（3）求出B的坐标，求出=，根据∠AGO=∠F=90°证△AGO∽△BFA，推出∠OAG=∠ABF，求出∠OAG+∠FAB=90°，求出∠OAB的度数，根据垂直定义推出即可．
（4）利用等腰三角形的性质，分别利用当AO=AQ₁=时，当AO=OQ₂=时，当AO=AQ₃=时，当AQ₄=OQ₄时，分别得出即可．
点评：本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强，有一定的难度．