Question

如图，同心圆O，大圆的面积被小圆所平分，若大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，当大圆半径为R时，且AB∥CD，求阴影部分面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：连结OC、OD、OE、OF，如图，根据切线的性质得OF⊥CD，OE⊥AB，而AB∥CD，则OF⊥AB，所以EF为小圆的直径，S_弓形CD=S_弓形AB，再利用大圆的面积被小圆所平分，可计算OF=

2

2

R，在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=

2

2

R，于是可判断△OCF为等腰直角三角形，得到∠COF=45°，所以∠COD=90°，然后根据扇形面积公式和S_弓形CD=S_扇形COD-S_△COD计算出S_弓形CD=S的面积，再利用阴影部分面积=

1

2

S_大圆-2•S_弓形CD进行计算．

解答：解：连结OC、OD、OE、OF，如图，
∵大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，
∴OF⊥CD，OE⊥AB，
∵AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴EF为小圆的直径，
∴S_弓形CD=S_弓形AB，
∵大圆的面积被小圆所平分，
∴π•OF²=

1

2

•πR²，
∴OF=

2

2

R，
在Rt△OCF中，∵OF=

2

2

R，OC=R，
∴CF=

OC2-OF2

=

2

2

R，
∴CD=2CF=

2

R，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∴∠COF=45°，
∴∠COD=90°，
∴S_弓形CD=S_扇形COD-S_△COD=

90•π•R2

360

-

1

2

•

2

R•

2

2

R=（

1

4

π-

1

2

）R²，
∴阴影部分面积=

1

2

S_大圆-2•S_弓形CD=

1

2

•πR²-2•（

1

4

π-

1

2

）R²=R²．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积得计算．