Question

己知AB为⊙O的直径，直线AP与⊙O相切于点A，过点B作BC∥OP，交⊙O于点C，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若BC=3，直径AB=7，求线段AP的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明△AOP≌△COP，进而证明∠PCO=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，证明△AOP∽△CBA，列出比例式求出PA的长即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OC；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB；
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP；
在△AOP与△COP中，
∵

AO=CO ∠AOP=∠COP OP=OP

，
∴△AOP≌△COP，
∴∠PCO=∠PAO；
∵直线AP与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）如图，连接AC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠PAO=90°，∠AOP=∠OBC，
∴△AOP∽△CBA，
∴

PA

AC

=

OA

BC

①；
由勾股定理得：
AC²=AB²-BC²=49-9=40，
∴AC=2

10

，
∵OA=3.5，BC=3，代入①式并解得：
AP=

7 10

3

．

点评：该命题主要考查了切线的判定及其性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质等重要几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．