Question

6．已知如图，矩形ABCD的对角线BD的中垂线分别交AD、BC边于点E、F，连结EB、DF．AB=$\sqrt{3}$，AD=3．
（1）求DE的长．
（2）过线段BE上一点M作MN∥BC，交DF于N，在边BC上取一点G，使BG=BM，连结EG、EN，试求∠GEN的度数．

Answer 1

分析 （1）通过解直角△ABD得到∠ADB=30°，BD=2AB，则通过解直角△ODE来求DE边的长度；
（2）易得△EBF是等边三角形．证△EBG≌△EFN，则得∠BEG=∠FEN，可推得∠GEN=60°．

解答 解：（1）∵在直角△ABD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则∠ADB=30°，
∴BD=2AB=2$\sqrt{3}$，
又∵EF是BD的中垂线，
∴∠EOD=90°，OD=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{OD}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，即DE=2．

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即ED∥BF．
∴∠EDO=∠FBO．
在△EDO与△FBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠FBO}\\{OD=OB}\\{∠EOD=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴ED=FB，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴BE∥FD，则BM∥FN，
又∵MN∥BC，
∴四边形BMNF是平行四边形，
∴BM=FN，
又∵BG=BM，
∴BG=FN．
由（1）知，∠ADB=30°，则易得∠DEO=60°．
∴∠BEF=∠DEF=60°，
∴△EBF是等边三角形．
∴∠EBF=60°，BE=FE，
易得∠EFD=60°，即∠EFN=60°．
在△EBG与△EFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=FE}\\{∠BEG=∠EFN=60°}\\{BG=FN}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△EFN（SAS），
∴∠BEG=∠FEN，
∴∠GEN=∠BEF=60°．

点评 本题考查了四边形综合题．解题时，要熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质以及正三角形的判定与性质．解答（2）题时，要利用图中相关角与角间的和差关系来求得∠GEN的度数．