Question

11．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{a}$（x+2）（x-a）（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，一4）．
（1）求实数a的值；
（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；
（3）若把题干中“抛物线过点N（6，-4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将N点坐标代入即可求得；
（2）由于A、B关于对称轴对称，所以相当于求AH+CH的最小值，根据两点之间线段最短，当A、H、C三点共线时AH+CH最小，即连接AC与对称轴的交点就是H，求出AC解析式，再与对称轴方程联立即可求得；
（3）分两种情况：①作BF∥AC交抛物线于点F，先求出BF解析式，再与抛物线方程联立求出F点坐标，再用两点间的距离公式表示出BF的长度，接着利用相似比例关系列出方程求解；②在x轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，同样先求出BF解析式，再求出F点坐标，进而表示出BF长度，最后利用相似比例关系列方程求解．算的过程中，可能有一种情况无解，舍去就是了．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{a}$（x+2）（x-a）（a＞0）过点N（6，一4），
∴-4=$-\frac{1}{a}（6+2）（6-a）$，
解得，a=4，
即实数a的值为4；
（2）∵a=4
∴$y=-\frac{1}{4}（x+2）（x-4）$
令y=0，得x₁=-2，x₂=4；令x=0，得y=2
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，2）
∵点A和点B关于抛物线的对称轴x=$\frac{-2+4}{2}=1$对称，
∴在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，即AH+CH最小，连接AC，则AC与抛物线的对称轴x=1的交点即为所求
如下图所示：

设过点A（4，0），C（0，2）的直线解析式为：y=kx+b
则$\left\{\begin{array}{l}{0=k×4+b}\\{2=k×0+b}\end{array}\right.$
解得k=$-\frac{1}{2}$，b=2
∴y=$-\frac{1}{2}x+2$
令x=1代入y=$-\frac{1}{2}x+2$，得y=$\frac{3}{2}$
∴点H的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）
即点H的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）时，使得BH+CH最小；
（3）①作BF∥AC交抛物线于点F，如图：

则∠FBA=∠BAC，
由y=-$\frac{1}{a}$（x+2）（x-a）=-$\frac{1}{a}{x}^{2}+（1-\frac{2}{a}）x+2$，
令x=0，则y=2，
∴C（0，2），
又∵A（a，0），
∴AC的解析式为y=$-\frac{2}{a}x+2$，
设BF的解析式为y=$-\frac{2}{a}x+b$，
∵BF过点B（-2，0），
∴b=$-\frac{4}{a}$，
∴BF的解析式为：y=$-\frac{2}{a}x-\frac{4}{a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{a}x-\frac{4}{a}}\\{y=-\frac{1}{a}{x}^{2}+（1-\frac{2}{a}）x+2}\end{array}\right.$，
解得：F（a+2，-2-$\frac{8}{a}$），
∴BF=$\sqrt{（a+4）^{2}+（2+\frac{8}{a}）^{2}}$
∵△BFA∽△ABC，
∴AB²=BF•AC，
∴$（a+2）^{2}=\sqrt{{（a+4）}^{2}+{（2+\frac{8}{a}）}^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+4}$，
化简整理得：16=0，不存在这种情形，
即这种情况不存满足要求的F点；
②∵B（-2，0），C（2，0），
∴BC的解析式为y=x+2，∠ABC=45°，
在x轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，如图：

∴BF⊥BC，
∴BF的解析式为y=-x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-\frac{1}{a}{x}^{2}+（1-\frac{2}{a}）x+2}\end{array}\right.$，
解得：F（2a，-2a-2），
∴BF=$\sqrt{（2a+2）^{2}+（2a+2）^{2}}$，
∵△BFA∽△BAC，
∴AB²=BF•BC，
∴${（a+2）}^{2}=\sqrt{{（2a+2）}^{2}+{（2a+2）}^{2}}•2\sqrt{2}$，
整理得：a²-4a-4=0，
解得a=$2+2\sqrt{2}$或a=$2-2\sqrt{2}$（舍去），
综上所述，a=$2+2\sqrt{2}$时，以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似．

点评 考查了二次函数综合题，解决二次函数问题应注意对称性的应用，若已知三点坐标，可设一般式；若已知顶点坐标，可设顶点式；若已知抛物线与x轴两交点坐标，可设两点式，从而简化运算，整个问题围绕二次函数展开，并将二次函数、三角形等多个问题紧密地结合在一起，无论是题设的给出还是思维方式的考查都很新颖．一道考题不仅考查了二次函数、三角形相似等初中数学中的重点内容，还考查了待定系数法等数学思想方法，这是中考试卷的创新题型和发展趋势，代数知识与几何知识得到了很好的整合，是一个典型的在知识网络交汇点处设计的热点试题．