Question

19．已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，若正方形边长为2$\sqrt{5}$，AE=4，求DF的长．

Answer 1

分析 根据勾股定理求得BE=6，把△ABE绕点B顺时针旋转90°，AB与BC重合，BE与BG重合，AE=CG=4，再根据条件证明∠GBF=∠BFG可得到BG=GF=BE=6，可求得CF=4，即可求得DF的长．

解答 证明：如图，将△ABE绕B点旋转，使AB和BC重合，
设△BCG是△ABE旋转后的三角形，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG=4，BE=BG，∠ABE=∠CBG，
∵AB=2$\sqrt{5}$，AE=4，
∴BE=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+{4}^{2}}$=6，
∵BF是∠EBC的角平分线，
∴∠EBF=∠FBC，
∴∠ABE+∠EBF=∠GBC+∠FBC，
∴∠ABF=∠FBG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFG，
∴∠GBF=∠BFG，
∴BG=GF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，BG=BE=6，
∴GF=6，
∵CG=4，
∴FC=6-4=2，
∴DF=2$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．